Des mathématiques anglophones
Bonjour/Bonsoir
Je ne sais pas où poster ça, je ne sais pas si ça se fait sur ce forum.
Pour un projet universitaire, je dois lire $Fields \ and \ Galois \ Theory$ de J.S. Milne. Je ne suis pas mauvais en anglais, mais les termes mathématiques ne me sont pas toujours familiers ou sont parfois de faux amis. Aussi, j'ouvre ce fil pour poser des questions sur le vocabulaire. Ma première question est la suivante.
(1) Que veut dire la phrase Nonzero integers map to invertible elements ? (je ne pense pas qu'il faille rajouter le reste pour comprendre, cela étant, je compléterai si nécessaire).
En vous remerciant.
Je ne sais pas où poster ça, je ne sais pas si ça se fait sur ce forum.
Pour un projet universitaire, je dois lire $Fields \ and \ Galois \ Theory$ de J.S. Milne. Je ne suis pas mauvais en anglais, mais les termes mathématiques ne me sont pas toujours familiers ou sont parfois de faux amis. Aussi, j'ouvre ce fil pour poser des questions sur le vocabulaire. Ma première question est la suivante.
(1) Que veut dire la phrase Nonzero integers map to invertible elements ? (je ne pense pas qu'il faille rajouter le reste pour comprendre, cela étant, je compléterai si nécessaire).
En vous remerciant.
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Réponses
Ce qui me fait fortement pencher pour le quantificateur universel est mon habitude des textes mathématiques écrits en anglais. Pour trancher avec certitude, il faudrait connaître le contexte de cette phrase. Comme tu ne nous l'a pas donné, il te revient de vérifier.
Soit $F$ un corps. Si l'on considère $$
\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathbb{Z} & \to & F \\
& & n & \mapsto & n.1_F \\
\end{array}
$$ où $n.1_F$ désigne $\underbrace{1_F+1_F+1_F+\cdots+1_F}_{n \ fois}$, $f$ est un homomorphisme d'anneau, et donc son noyau est un idéal. Comme $\mathbb{Z}$ est entre autre principal, il existe un unique entier $k$ positif ou nul tel que $\ker(f)=k\mathbb{Z}$. Dans le cas $k=0$, (clin d'œil) les entiers non nuls sont envoyés sur les éléments inversibles de $F$, et enfin ce que je ne comprends pas, on en conclut que $f$ induit un homomorphisme $$
\begin{array}{ccccc}
f' & : & \mathbb{Q} & \to & F \\
& & \frac{n}{m} & \mapsto & (n.1_F).(m.1_F)^{-1} \\
\end{array}
$$ J'en ai discuté avec mes camarades, l'un parle de fonctorialité entre un anneau et son corps des fractions (je ne maîtrise pas le langage des catégories). Auriez-vous des éclaircissements à prodiguer ?
En vous remerciant.
Tu ne vois pas que le $f'$ défini comme tu le fais est bien défini, et est un homomorphisme ? C'est ça ton problème ?
Tu peux faire l'exercice dans un cadre plus général : soit $A$ un anneau commutatif intègre, $Q$ son corps de fractions, $f : A\to B$ un homomorphisme d'anneaux tel que pour tout élément non nul $a$ de $A$, $f(a)$ est inversible dans $B$. Alors $f$ s'étend en un unique homomorphisme $f':Q\to B$, défini par
$$f'\left(\frac{b}{a}\right)=f(b)\,f(a)^{-1}\;.$$
Quel est le sens mathématique de cette phrase?
Pour ce qui est de l'exercice, $f'$ est un homomorphisme d'anneau car : $ f'(1) = 1_F $
\begin{align}
f'\Big(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\Big) &= f'\Big(\dfrac{cb+ad}{ac}\Big)\\
&= f(cb+ad)f(ac)^{-1}\\
&= (f(c)f(b)+f(a)f(d)).(f(a)f(c))^{-1}\\
&= f(b)f(a)^{-1}+f(d)f(c)^{-1}\\
&= f'\Big(\frac{b}{a}\Big)+f'\Big(\frac{d}{c}\Big)
\end{align}
et de plus,
\begin{align}
f'\Big(\frac{b}{a}.\frac{d}{c}\Big) &= f'\Big(\dfrac{bd}{ac}\Big)\\
&= f(bd)f(ac)^{-1}\\
&= f(b)f(d).(f(a)f(c))^{-1}\\
&= f(b)f(a)^{-1}f(d)f(c)^{-1}\\
&= f'\Big(\frac{b}{a}\Big)f'\Big(\frac{d}{c}\Big)
\end{align}
[small]ta signature me rappelle une blague : C'est un mathématicien, un ingénieur et un physicien qui se promènent. Ils tombent sur une pile de cannettes de bières, mais dont les anneaux d'ouvertures ont été retirés. Chacun part dans son coin dans le but d'ouvrir ces canettes. L'ingénieux ingénieur met au point un ouvre canette révolutionnaire, rendement à 5 canettes/secondes. Le physicien, qui avait gardé une canette avec lui, étudie minutieusement l'objet, et trouve les points faibles de ces boites. Ces deux compères reviennent fièrement vers le tas de canettes, et retrouvent le mathématicien tranquillement installé en train de siroter la dernière canette. Estomaqué, les deux autres lui demandent comment il est parvenu à les ouvrir, sa réponse : "J'ai simplement supposé qu'elles étaient ouvertes et tout s'est passé naturellement."[/small]