Nom d'une application
Bonjour
Après plusieurs mois passé à trouver puis normaliser("normaliser" car j'ai recherché une écriture plus simple que celle de mon écriture initiale) deux applications qui à $ \mathbb {R}$ font correspondre les coordonnées par rapport à un repère orthonormé dans le plan d'une conique, les coordonnées des points de cette conique avec pour paramètres uniquement, les coordonnées (toujours par rapport à ce repère) de cinq points distincts deux à deux de cette conique propre d'excentricité non nulle
Comment se nomme ce genre d'applications ?
En les nommant $f$ et $g$ et en prenant $(x_A,y_A)$ respectivement $(x_B,y_B)$ respectivement $(x_C,y_C)$ respectivement $(x_D,y_D)$ respectivement $(x_E,y_E)$ les coordonnées cartésiennes d'un point $A$ respectivement $B$ respectivement $C$ respectivement $D$ respectivement $E$ par rapport à un repère orthonormé dans le plan d'une conique propre d'excentricité non nulle $\Omega $
À partir de ces coordonnées et uniquement, je détermine huit réels
$p,q,v,w,t,v',w',t'$ et on aura les propriétés suivante
1)pour tout $u \in \mathbb {R}$ alors $\left( f(u),g(u) \right)$ sont les coordonnées d'un point de $\Omega $
selon $f(u)=x_C+\frac {vu^2+wu+t}{pu^2+qu+1}$ et $g(u)=y_C+\frac {v'u^2+w'u+t'}{pu^2+qu+1}$
2)pour tout point de la conique (y compris s'il est situé à l'infini ) il existe $u \in \mathbb {R}$ vérifiant $\left( f(u),g(u) \right)$ sont les coordonnées de ce point (et donc si ce point est situé à l'infini de toute façon $u$ restera un réel de $\mathbb {R}$ et non de $\overline {\mathbb {R}}$ )
3)et enfin (pour des raisons pratiques, dans ma normalisation j'ai choisi) $f(0)=x_A$ , $g(0)=y_A$
$f(1)=x_B$ , $g(1)=y_B$
$f(\varphi )=x_C$ , $g(\varphi )=y_C$ avec $\varphi $ j'ai choisi le nombre d'or mais c'est juste un choix que je trouve pratique dans les calculs tout comme le sont zéro et un qui font correspondre les coordonnées de $A$ et de $B$
Après plusieurs mois passé à trouver puis normaliser("normaliser" car j'ai recherché une écriture plus simple que celle de mon écriture initiale) deux applications qui à $ \mathbb {R}$ font correspondre les coordonnées par rapport à un repère orthonormé dans le plan d'une conique, les coordonnées des points de cette conique avec pour paramètres uniquement, les coordonnées (toujours par rapport à ce repère) de cinq points distincts deux à deux de cette conique propre d'excentricité non nulle
Comment se nomme ce genre d'applications ?
En les nommant $f$ et $g$ et en prenant $(x_A,y_A)$ respectivement $(x_B,y_B)$ respectivement $(x_C,y_C)$ respectivement $(x_D,y_D)$ respectivement $(x_E,y_E)$ les coordonnées cartésiennes d'un point $A$ respectivement $B$ respectivement $C$ respectivement $D$ respectivement $E$ par rapport à un repère orthonormé dans le plan d'une conique propre d'excentricité non nulle $\Omega $
À partir de ces coordonnées et uniquement, je détermine huit réels
$p,q,v,w,t,v',w',t'$ et on aura les propriétés suivante
1)pour tout $u \in \mathbb {R}$ alors $\left( f(u),g(u) \right)$ sont les coordonnées d'un point de $\Omega $
selon $f(u)=x_C+\frac {vu^2+wu+t}{pu^2+qu+1}$ et $g(u)=y_C+\frac {v'u^2+w'u+t'}{pu^2+qu+1}$
2)pour tout point de la conique (y compris s'il est situé à l'infini ) il existe $u \in \mathbb {R}$ vérifiant $\left( f(u),g(u) \right)$ sont les coordonnées de ce point (et donc si ce point est situé à l'infini de toute façon $u$ restera un réel de $\mathbb {R}$ et non de $\overline {\mathbb {R}}$ )
3)et enfin (pour des raisons pratiques, dans ma normalisation j'ai choisi) $f(0)=x_A$ , $g(0)=y_A$
$f(1)=x_B$ , $g(1)=y_B$
$f(\varphi )=x_C$ , $g(\varphi )=y_C$ avec $\varphi $ j'ai choisi le nombre d'or mais c'est juste un choix que je trouve pratique dans les calculs tout comme le sont zéro et un qui font correspondre les coordonnées de $A$ et de $B$
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Réponses
alors comme je définis ces fonctions avec les coordonnées de cinq points et ici de $\Omega :=\frac {1}{4}.x^2+\frac {1}{9}.y^2-1=0$
alors j'ai pris par exemple
$A=(1.885618083, 1)$
$B=(1.88561808316,-1)$
$C=(2,0)$
$D=(1.490711985,2)$
$E=(1.490711985,-2)$
ces cinq points sont bien sur $\Omega $
alors j'ai obtenu
$p=1.866140051729218$
$q=-2.720242017978904$
$v=-0.043690004534516$
$w=0.141383824610968$
$t=-0.11438191684$
$v'=0.854101966249682$
$w'=-2$
$t'=1$
ceci dit pourquoi chercher à le savoir vu que ce qui compte ici est de trouver les huit réels (donc p et q aussi)
là $q^2-4p<0$ alors c'est une ellipse
rappelle toi que tu m'as donné $\Omega :=\frac {1}{4}.x^2+\frac {1}{9}.y^2-1=0$
alors j'ai pris par exemple
$A=(x_A,y_A)=(1.885618083, 1)$
$B=(x_B,y_B)=(1.88561808316,-1)$
$C=(x_C,y_C)=(2,0)$
$D=(x_D,y_D)=(1.490711985,2)$
$E=(x_E,y_E)=(1.490711985,-2)$
ils sont bien sur $\Omega $ non?
donc avec ça j'ai calculé
$p=1.866140051729218$
$q=-2.720242017978904$
$v=-0.043690004534516$
$w=0.141383824610968$
$t=-0.11438191684$
$v'=0.854101966249682$
$w'=-2$
$t'=1$
en notant $u_A=0$ alors $f(u_A)=x_A=x_C+\frac {vu^2+wu+t}{pu^2+qu+1}$ et $g(u)=y_A=y_C+\frac {v'u^2+w'u+t'}{pu^2+qu+1}$
$u_B=1$ alors $f(u_B)=x_B=x_C+\frac {vu_B^2+wu_B+t}{pu_B^2+qu_B+1}$ et $g(u_B)=y_B=y_C+\frac {v'u_B^2+w'u_B+t'}{pu_B^2+qu_B+1}$
$u_C=\varphi $ le nombre d'or alors $f(u_C)=x_C=x_C+\frac {vu_C^2+wu_C+t}{pu_C^2+qu_C+1}$ et $g(u_C)=y_C=y_C+\frac {v'u_C^2+w'u_C+t'}{pu_C^2+qu_C+1}$
et une formulation me donne ensuite les valeurs de $u_D$ et $u_E$ pour :
$u_D=0.498767377868095 $ alors $f(u_D)=x_D=x_C+\frac {vu_D^2+wu_D+t}{pu_D^2+qu_D+1}$ et $g(u_D)=y_D=y_C+\frac {v'u_D^2+w'u_D+t'}{pu_D^2+qu_D+1}$
$u_E=0.873224823521919 $ alors $f(u_E)=x_E=x_C+\frac {vu_E^2+wu_E+t}{pu_E^2+qu_E+1}$ et $g(u_E)=y_E=y_C+\frac {v'u_E^2+w'u_E+t'}{pu_E^2+qu_E+1}$
Ici, tu veux trouver une paramétrisation rationnelle à partir de cinq points de la conique. Les choix que tu fais ne sont peut-être pas optimaux.
merci pour la définition de ça
(là ! je ne risquais pas de trouver)
"Les choix que tu fais ne sont peut-être pas optimaux"
peut être … mais en tout cas l'utilisation du nombre d'or facilite des formules (comme par exemple quand ça m'élimine le dénominateur de certaines formules)
je retourne aux maths car les maths c'est vital et le reste c'est du flan