Bientôt deux ans ici : bilan personnel

Mais on s'en moque que ce soit précis, on veut illustrer le concept qu'on introduit, au moins un minimum. Moi ça me suffit, et je ne pense pas être bizarre.

Évidemment qu'ils peuvent être bordéliques. L'idée est juste d'expliquer à son interlocuteur qui nous demande une explication qu'on veut donner une taille à certains ensembles, que comme on l'a naturellement pour les intervalles notre but est de trouver ceux qu'on peut avoir "en fonction des intervalles" et qui ne sont pas bordéliques en ce sens.
Il y a déjà mille imprécisions dans ce petit texte ("taille" peut dire cent choses en maths, nous le savons tous, "en fonction de" aussi). Mais enfin, on ne va pas être diaboliquement précis avec quelqu'un qui nous demande d'éclairer une lanterne et qui a déjà les définitions précises !

Je n'en sais rien, je crois qu'on joue sur les mots là. Expliquer pourquoi on introduit une notion j'appelle ça concrétiser. Ce mot ne veut pas dire "expliquer la nature de". Je n'ai pas dit "expliciter" les boréliens, ni "décrire".

Par contre j'ai vu en cours que tous les ensembles n'étaient pas boréliens, enfin en exercice. J'ai l'impression que c'est un fait presque toujours relégué au rang d'exercice.

Oui Poirot, j'étais sur les non mesurables alors que Riemann_l_c parlait de non boréliens ans cette phrase là. Tu fais bien de préciser.

Poirot: si si il faut l'axiome du choix, on en a déjà discuté ;-) (il y a un modèle de ZF où $\mathbb R$ est réunion dénombrable de parties dénombrables, donc toute partie de $\mathbb R$ est borélienne - l'argument de cardinalité utilise AC à plusieurs reprises)

Moi je trouve ça cohérent que ce soit pas pris comme fait super important, vu que c'est un fait pas super important (très intéressant, mais pas super important : on n'en croise jamais, des non boréliens, surtout en théorie de la mesure : on veut s'en écarter le plus ! Donc c'est clairement pas un cours de théorie de la mesure qui a à prouver l'existence d'objets qui n'y seront jamais rencontrés. Je suis d'accord qu'il faut sûrement le mentionner, pour qu'on pense à faire des preuves de mesurabilité, et que ça peut être un plus sympa au cours ou au TD, mais ce n'est en aucun cas essentiel dans un cours de théorie de la mesure)

gimax a écrit:

Je suis bien d'accord que ce que tu dis résume le principe initial de la théorie de la mesure, mais nous sommes tous d'accord ici (Poirot, raoul, Calli, moi...) pour dire aussi que ça n'explique en rien la nature d'un borélien. Contestes-tu cela ?

J'ai dit ça, moi ?
Je n'ai pas commenté ce qu'a dit @Riemann_lapins_cretins.

Merci.

Poirot : oui bien évidemment qu'il ne faut pas le choix entier, là tu as raison bien sûr !

@Dom : lol

Quelques réflexions personnelles sur les boréliens, l'intégrale de Lebesgue etc.

Bon, déjà je suis de l'avis de Gimax, je trouve que l'explication de Riemann et les lapins crétins porte bien plus sur "c'est quoi concrètement l'intégrale de Lebesgue" (et alors l'explication est bonne) que sur "c'est quoi concrètement un borélien" (et alors je trouve l'explication mauvaise et à côté de la plaque).

De ce que j'en comprends les boréliens n'ont absolument pas vocation à ne pas être trop bordéliques. Ils ont vocations à :
- être stables par union dénombrable (parce qu'on aime bien passer à la limite en analyse),
- être stables par passage au complémentaire,
- contenir les intervalles ouverts (parce que c'est bien le minimum quand on veut mesurer des longueurs/aires/volumes).
La classe des boréliens c'est exactement ça, et en conséquence on obtient quelque chose d'extrêmement bordélique.

Pour s'en convaincre on peut regarder une descriptions plus ou moins concrète de ce que sont les boréliens : hiérarchie de Borel. On peut aussi constater qu'il est bien difficile de trouver un ensemble non borélien et qu'il est bien long de montrer que la mesure naïve des intervalles s'étend à l'ensemble des boréliens.

Par rapport à l'intégrale de Lebesgue on entend souvent que sa puissance viendrait du découpage horizontal plutôt que vertical, j'en doute personnellement. Dans le livre de Komornik Précis d'analyse réelle tome 2 on voit justement une construction de l'intégrale de Lebesgue par découpage vertical et l'utilisation de la notion de "presque partout" (qui se fait sans développer toute la théorie de la mesure de Lebesgue).

P. a écrit:

Et ben, après les descriptions d'Homo Topi je n'enverrai personne a Strasbourg !

Pour y avoir fait la majeure partie de mes études je recommande chaudement la fac de math de Strasbourg :)o Mais je pense que mon appréciation ou celle d'homo topi en disent plus sur nous que sur la fac de Strasbourg.

Oui Corto, et même si les boréliens peuvent être suffisamment bordéliques pour qu'on puisse considérer concrètement que peu importe l'ensemble qu'on croise sur notre route, il est borélien, je maintiens qu'en un sens, ils ne sont "pas trop bordéliques". Déjà parce qu'on peut les quantifier en leur donnant une taille. Ensuite parce que justement, ils sont stables par union dénombrable et contiennent les ouverts, et même s'ils peuvent avoir nimporte quelle tête, ces deux faits impliquent qu'il n'y a "pas tant d'entropie que ça" dans les boréliens, puisque leur construction reste un minimum procédurale, et pas totalement aléatoire, si je puis dire.
Je vais m'arrêter car ça risque d'être sans fin et tout est question de nos représentations mentales des choses. Cette manière de voir les boréliens ne m'a jamais joué de tour et a permis à mes braves camarades d'y voir un peu plus clair à une période de leur cours.

Et je ne nie pas que les boréliens peuvent avoir n'importe quelle tête et que ce côté "je vois un ensemble je réfléchis pas il doit être mesurable" peut expliquer la puissance de l'intégrale de Lebesgue, justement.
Mais je campe, je campe !