Moi vs exercice

Homo Topi · April 2020

Un truc que je constate régulièrement chez moi, c'est que quand je ne comprends pas un truc, même si j'y ai passé pas mal de temps, souvent la réponse est toute bête et je sais que j'aurais été parfaitement capable de la trouver moi-même. Et des fois, je passe beaucoup de temps, sur une question très simple. Je pense que ça fait de moi un matheux "normal". Ni trop mauvais, ni trop doué.

Mais le truc que je ne comprends pas, en fait, c'est pourquoi. Quand je suis face à une question, j'ai l'impression que j'ai du mal à voir toutes les approches possibles pour essayer de la résoudre. Certaines approches me paraissent naturelles, donc j'essaie celles-là, mais si je n'arrive pas à conclure par ces approches, à chaque fois mon cerveau commence à chercher qu'est-ce que j'ai pu oublier, qu'est-ce que j'ai fait faux, au lieu de "dézoomer" et penser à une autre approche. Je pense que c'est aussi pour ça que j'ai autant de mal avec l'analyse réelle, parce que c'est une théorie "gentille" dans laquelle il existe une TONNE de résultats parce que c'est une théorie qui a servi énormément et depuis très longtemps, il y a tellement de choses dedans et tellement de pistes à essayer que même si toutes ces pistes sont "à mon niveau", si je n'arrive pas à les "voir", je ne vais réussir à résoudre l'exercice. Dans d'autres domaines, j'ai moins de mal parce que je trouve que c'est plus "carré", qu'il y a moins de résultats.

Je sais que j'ai une mémoire assez mauvaise en général (sauf pour les visages, allez savoir pourquoi) et j'oublie beaucoup de choses : la moitié des démonstrations dans mes livres de Licence, je sais que je les comprends "juste en lisant" sans avoir à y réfléchir plus que ça, mais pour les retrouver sans aucune aide tout seul, même les trucs pas très longs comme Rolle ou Lagrange, pour me rappeler de l'astuce sans y passer une éternité, laissez tomber.

Mais je ne sais pas si c'est vraiment le fait que "j'oublie les astuces" qui me pose problème. C'est vraiment ce "zoom mental", comme si j'obsédais sur une approche précise pour résoudre un exercice, dont j'ai du mal à me débarrasser. Vous avez une idée d'où ça pourrait venir et/ou comment je pourrais m'entraîner à ne plus faire ça ?

Riemann_lapins_cretins · April 2020

Le meilleur moyen de se déguidoner est de bien comprendre la suite. On sait tous que le programme de licence est relativement simple une fois qu'on a vu le bout et qu'on a une image du tout.
Rolle, c'est un dessin. Lagrange, c'est une belle leçon de morale sur les structures quotient et les classes à gauche, qui reste un peu à vie pour moi.
Mon exemple pour illustrer, c'est le théorème du rang en algebre linéaire.
J'ai toujours su refaire la preuve sans souci, elle n'est pas bien dure. Mais en sup et en spé, j'y pensais en ramant un peu (je considère tel morphisme parce que c'est naturel et je vérifie que c'est un isomorphisme et ça tombe bien juste pour des raisons de calcul technique qui marche bien). En L3, familiarisé avec les structures quotients, j'ai pu mettre une image sur ce que disait le théorème et me dire "bon sang c'est tout naturel, pas besoin de détailler la preuve".

Les exercices tournent assez vite en routine donc on finit par s'en sortir. Ceux que sont difficiles sont faits pour être appris et faire croire qu'on excelle en maths lorsqu'on est en prépa, et par la suite, à nous résister pour nous faire profondément progresser. Un seul exercice, pas forcément dur plus que ça, peut débloquer toute notre compréhension d'un chapitre (j'ai plusieurs exemples de fois où ça m'est arrivé : les chapitres pour lesquels j'ai eu la chance de tomber sur l'exercice qu'il fallait, je les dominais vraiment). C'est normal d'y bloquer et de trouver les idées évidentes a posteriori. Une fois qu'on sait on se demande comment diable a-t-on pu croire à une autre voie de départ possible. Ca ne veut pas dire qu'on a été nul de partir totalement dans l'autre sens et dans 50 autres avant de trouver.
Je crois qu'être bon en maths et savoir résoudre les exercices, ça consiste en la manière dont on sait refaire tout le cours dans sa tête sans ramer. Il n'y a pas de recette toute faite et tout dépendra de nos affinités avec ledit cours. Parfois, il faut tomber sur l'exercice miracle, ou sur le cours miracle, ou avoir le déclic miracle qui débloque tout. Parfois ça ne vient jamais et on doit se contenter d'un apprentissage honnête et un peu scolaire, et on reste longtemps avec un édifice mental qui est loin d'être notre chez-nous. Il est très satisfaisant d'assimiler suffisamment certaines théories pour avoir l'impression de leur marcher dessus, mais il n'y a aucune honte à, quelques fois, ou même souvent, devoir se contenter d'une liste de théorèmes, dont on connait les énoncés et les preuves, et d'une liste de réflexes, comme seule prise sur certains pans entiers des maths.
Par exemple, si j'ai eu assez vite l'impression de rouler sur l'intégration niveau licence ou l'algèbre des groupes et corps, je n'ai jamais réussi à me sentir confortable en algèbre lineaire et dois aujourd'hui encore me contenter d'une manière scolaire de la voir. Si j'ai réussi à pondre quelques belles preuves par moi-même sans les lire ailleurs dans certains domaines, je sais aussi que pour cette dernière un "bête" oral de concours me bloquera.

Homo Topi · April 2020

Je pense que ce que je vais dire, pour le coup, est de nouveau davantage relié à ma mémoire qu'à mes mathématiques, mais, j'ai souvent beaucoup de mal à me rappeler de "l'ordre logique" d'un cours. Si tu me donnes deux théorèmes d'un même cours, je risque fort de ne pas savoir lequel est antérieur à l'autre. Dans le sens, duquel on a besoin pour démontrer l'autre.

Au sein même d'une théorie que je veux travailler, là je vais réfléchir à un "ordre logique" qui fait sens pour moi (et qui n'a souvent rien à voir avec l'ordre dans les livres), ça m'aide parfois à dégrossir les choses et à comprendre des choses que je n'avais pas comprises avant. J'avais fait tout un travail sur l'algèbre linéaire pendant mes vacances d'été avant d'entrer en M2, ça m'avait plutôt bien servi d'ailleurs. J'aimerais faire quelque chose de similaire avec d'autres "blocs" de Licence comme ça.

Par contre, je trouve rassurant que tu m'aies dit autre chose que "pour devenir bon en maths, il suffit de faire plein d'exercices" parce que c'est justement avec le fait de faire des exercices que j'ai l'impression d'avoir un problème.

Maintenant, la question est plutôt, comment (enfin : où) trouver "les bons" exercices pour que je me mette à l'aise avec les choses où je ne me sens pas à l'aise. Je travaille déjà, quand j'ai le temps, à me rapprendre les cours correctement, c'est long mais ça vient. J'avais demandé une fois sur le forum qu'on me fournisse des exercices d'analyse réelle, parce que c'est quelque chose que je veux retravailler, mais personne n'avait répondu.

raoul.S · April 2020

@Homo Topi pour les exos j'ai gardé ceux qu'on m'avait filé durant mes études, je peux t'en recopier quelques'uns si tu veux, mais de quel niveau on parle ?

Homo Topi · April 2020

Je suis preneur ! J'aimerais bien des exos d'analyse réelle niveau L1 (un peu L2 aussi, ça dépend ?) sur :
- la topologie de $\mathbb{R}$ ($\max$, $\min$, $\sup$, $\inf$, exercices avec $\mathbb{Q}$, propriétés des intervalles)
- les suites numériques, convergence/bornes/limsup/liminf
- les fonctions $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, toute cette sociologie : continues, continues par morceaux, dérivables, $\mathcal{C}^1$, lipschitziennes, uniformément continues, hölderiennes ?
- les $o$ et les $\sim$, typiquement encore pour des convergences de suites, des limites de fonctions, des justifications de convergences d'intégrales...
- des exercices "importants, fondamentaux ou intéressants" sur les fonctions de référence

J'ai quelques exercices comme ça dans mes livres, mais je trouve que je n'en ai pas assez, et qu'ils sont souvent trop simples (ou "pas assez formateurs" peut-être ?).

Vu que je connais à peu près mes critères de convergence sur les séries et les intégrales, j'espère que ça m'aidera à faire les exercices un peu plus difficiles avec plus d'aisance et plus d'autonomie. Je connais, et je trouve que je comprends, assez bien la théorie, mais je n'ai pas assez d'aisance en calcul (en "recherche de la bidouille qui permet d'écrire la bonne inégalité", en gros). Si je rattrape ça, j'arriverai à m'auto-re-former proprement sur les séries, les séries de fonctions, et les intégrales, ça m'aidera beaucoup sur tout le reste de l'analyse qui est au programme de l'agrégation.

En principe, je n'ai plus besoin de la passer, mais j'ai envie de la passer un jour, juste pour moi. Et le jour où je la passe, j'aimerais me sentir à l'aise dans mes bottes. Je ne veux pas forcément finir tout le sujet aux écrits, ni faire tomber la mâchoire aux jurys des oraux, mais juste montrer que je suis à l'aise à peu près avec les bases. Qu'on puisse me donner un sujet de mémoire de M2 Recherche ou une question qui pourrait faire l'objet d'une thèse et que je sois capable d'y réfléchir tout seul, d'essayer des trucs tout seul, ou si besoin est de me former tout seul pour pouvoir avancer, même si c'est lent et que ça ne vole pas haut, sans avoir besoin qu'on me file un coup de pouce toutes les 5 minutes.

Riemann_lapins_cretins · April 2020

Par exemple, en sup il y avait cet Alain Troesch :
"Convergence de (un) définie par u1 et u2 > 0, et pour tout n : u_(n+2) = log(1 + un) + log(1 + u_(n+1))".

Je crois que réussir cet exercice m'a appris un peu ce qu'était toute l'analyse mathématique, en quoi la maxime de Dieudonné "Majorer, approximer" était juste, sans que je ne la comprenne en rien auparavant.

Mon prof de spé était d'accord aussi pour dire que multiplier les exos n'était pas forcément utile, mais qu'il en suffisait de quelques uns. Trouver comment déclencher les déclics, c'est notre rêve à tous. Mais faute de mieux, si on ne réussit pas à exceller dans tel cours, savoir refaire et comprendre trois ou quatre exercices est le meilleur compromis pour savoir se resservir du cours plus tard, je pense.

Je comprends ce que tu veux dire pour la structure. En algèbre linéaire, en spé, je me souviens que je restais éveillé tard dans mon lit les dimanche insomniaques et que je tuais le temps en tentant de refaire mentalement tout le cours de réduction. Ça ne m'a pas rendu excellent mais au moins je me souviens encore du cours trois ans plus tard.
C'est vrai que quand on se sent à l'aise la question de la structure ne se pose pas tant elle est évidente, mais les domaines dans lesquels je rame, prendre le temps de faire cet effort de reconstruction totale du cours me permet de limiter largement les dégâts et de pouvoir les utiliser quand même.

Étrangement je sais me refaire naturellement tout un cours d'intégration de Lebesgue jusque convergence dominée sans effort, et je dois toujours ramer pour refaire mon petit cours de réduction.
On sous-estime l'importance des coups de bol intellectuels, des déclics. Dès qu'ils arrivent, c'en est fini du chapitre. Mais souvent, ça ne vient jamais et on doit blinder notre connaissance partielle, en étant toujours déçu de soi, mais n'ayons pas honte, faisons des exercices et refaisons le cours dans notre tête jusqu'à le savoir assez. Notre goût ne se commande pas.

Homo Topi · April 2020

Ben, tiens, j'essaierai de le faire, cet exercice.

Mais tiens, parlons un peu d'algèbre linéaire. Je ne sais pas quel est ton parcours/niveau mais moi, j'ai vu le programme de l'agrégation, en gros. Quand j'ai découvert l'algèbre linéaire, c'était : $\R^n$, calculs de matrices, déterminants, systèmes linéaires. Bref, du calcul. La réduction des endomorphismes, pareil... matrices, systèmes, calculs.

Je trouve ça idiot de faire le cours comme ça. La théorie de l'algèbre linéaire est trop importante pour être mise au second plan derrière "c'est comme $\R^n$ et on fait des calculs", surtout pour toute la partie ou on ne PEUT PAS réduire les raisonnements à des calculs simples : la dimension infinie. Il paraît que ça sert un peu (analyse fonctionnelle, tout ça...)

Pour moi, un bon cours d'algèbre linéaire, ça commence par la théorie sur les espaces vectoriels et les applications linéaire (en utilisant $\R^n$ comme des exemples de base, pas comme la base même du cours), la théorie sur les bases et la dimension, et seulement à ce moment-là on peut distinguer le cas de la dimension finie comme particulièrement simple/fructueux parce que c'est calculatoire (les matrices, ça ne sort pas de nulle part ! la plupart des étudiants ne pourraient même pas définir précisément quel objet mathématique c'est, à part "un tableau de nombres" !). Pour la réduction des endomorphismes, c'est pareil, il y a des tas de choses à dire sur les polynômes d'endomorphismes autre que "comment calculer en dimension finie". Et pourtant, on en fait des cours calculatoires.

Alors, tant pis, je me le suis ré-appris tout seul. Oui, avec les trucs calculatoires... mais ils étaient à la fin. Je trouve ça idiot de vouloir se lancer dans des calculs si on n'a pas au moins une petite idée, apportée par la connaissance de la théorie, de ce qu'on doit calculer/comprendre à l'issue du calcul.

topopot · April 2020

Justement, avez-vous une bonne référence sur la réduction ? J'aime bien le cours de sup d'Alain Troesch sur l'algèbre linéaire (surtout avec les idées de preuve qui permettent de lire activement), il me faudrait le même pour la réduction mais Troesch c'est seulement MPSI malheureusement :-o

Je cherche un cours ambitieux, suffisamment général/abstrait et si possible exhaustif (notamment ponçage en long, large et travers de Dunford et compagnie + idéalement des choses plus pointues). Pour l'instant le mieux que j'ai trouvé c'est Gourdon mais l'inconvénient c'est que ça n'est pas vraiment un cours mais plutôt un genre de résumé des résultats importants du cours avec une grosse dose d'exercices et de problèmes.

Pour avoir lu certains polys de Nicolas Tosel qu'il donne à ses élèves (en théorie des groupes et des corps), j'imagine que son cours de réduction doit être parfait et correspondre à ce que je cherche mais malheureusement ces derniers ne semblent pas accessibles.

Calli · April 2020

Salut,
Oh ! Deux personnes qui citent mon prof mon de sup. (:D

C'est étonnant (de mon point de vue) que tu comprennes par déclics Riemann_lapins_cretins. Personnellement, j'ai plutôt tendance à comprendre les choses progressivement. Mais chaque cerveau a sa manière de fonctionner !

Homo Topi, clique ici. ;-)

noix de totos · April 2020

Un bon livre sur la réduction ? Celui-ci, sans hésiter : https://www.amazon.fr/Algèbre-linéaire-endomorphismes-Roger-Mansuy/dp/2311404059/ref=sr_1_4?__mk_fr_FR=ÅMÅŽÕÑ&dchild=1&keywords=Roger+Mansuy&qid=1586939834&sr=8-4

biely · April 2020

J'avais bien bien aimé à l'époque le livre sur l'algèbre linéaire de mon professeur de fac Joseph Grifone mais peut-être un peu trop léger (fac Paul Sabatier de Toulouse).

Corto · April 2020

Homo topi : Quand on enseigne l'algèbre linéaire ou qu'on écrit un livre dessus on le fait généralement pour un public particulier et ce public est très souvent constitué d'étudiants de première et deuxième année. Il y a donc des contraintes pédagogiques fortes et parler de la dimension infinie n'est en général pas utile et plus néfaste qu'autre chose. Idem pour la réduction, il y a déjà assez à faire sur $\C$, pas la peine d'essayer de faire un cours général sur d'autres corps que de toute façon les étudiants de deuxième année ne connaissent pas.

Bref, à peu près toutes les choses que tu décries vis à vis de l'algèbre linéaire peuvent s'expliquer par le biais de ces contraintes pédagogiques.

Je te met une petite feuille d'exercices sous forme de vrai/faux sur les petits $o$, grands $O$ et équivalents (et un peu les intégrales généralisées). Certaines questions font probablement doublon mais ça devrait sans doute t'entrainer à manipuler ces objets. J'ai une feuille semblable sur les séries numériques si ça t'intéresse.

Riemann_lapins_cretins · April 2020

Disons plutôt que quand j'ai la tête dans le guidon, il n'y a qu'un déclic qui m'en sortira, et que tout viendra naturellement ensuite.
Certains cours que j'ai appris très patiemment en faisant le plus possible les preuves seul en les lisant en direct, tant qu'elles étaient simples, font aussi partie des plus solides qu'ils me restent.

Mais tiens, autre exemple, le calcul différentiel dans R^n, même en y mettant beaucoup de bonne volonté, en faisant tous les exercices et en revoyant souvent ce cours, j'arrive à faire un peu tout mais je ne le sens jamais la main vraiment sûre.
Les probas niveau espérance conditionnelle/Markov aussi, pareil, tous les réflexes sont là et j'ai appris avec le livre d'alea en faisant en direct les preuves abordables. Toujours pareil : il y a les réflexes, la plupart des exercices tournent, je saurais vulgariser un peu ce qu'on y fait et j'y ai eu de bons résultats... mais je ne m'y sens toujours pas bien.

Il faudra qu'un déclic vienne, sûrement dû à la connaissance de ce qu'il se passe ensuite.

Par exemple, en sup, il y avait le cours plutôt anecdotique sur les relations d'équivalence. Et franchement, mettre une image dessus, ça bloquait. J'avais fait la feuille d'exos mais ça restait du collage de définitions.
Puis je sais pas pourquoi deux ans plus tard, en réfléchissant à "G/Ker(f) isomorphe à l'image", le déclic : les relations d'équivalence étaient comprises. J'ai compris du coup qu'on ne faisait rien que de simple dans cette preuve, qu'en fait on pourrait expliquer à tout etudiant de première année qu'on a juste fait un tour de magie en rassemblant tous les éléments qui ont la même image et en faisant comme si ils étaient le même (chose qu'on voit bien en faisant des ensembles patates quand on l'explique, mais qui ne m'était jamais apparu).
Et avoir le déclic sur ça pour trouver le truc enfantin, ça a débloqué la construction de Z/nZ, de C...qui avant n'étaient que des paragraphes techniques de mes cours dont je suivais la logique sans voir en quoi c'était complètement évident de dire "on introduit R relation d'équivalence".

Cere · April 2020

Je plussoie le livre conseillé par noix de totos pour l'algèbre linéaire (que j'ai d'ailleurs recommandé dans un autre fil il y a une heure).

Riemann_lapins_cretins · April 2020

J'aime bien Godement aussi, le Griffone et pour ceux qui ont déjà vu un cours et veulent revoir, j'aime beaucoup le chapitre de Arnaudies et Bertin dans Groupes, algèbres et géométrie (livre que j'adore vraiment en algèbre).

Foys · April 2020

Corto a écrit:

Homo topi : Quand on enseigne l'algèbre linéaire ou qu'on écrit un livre dessus on le fait généralement pour un public particulier et ce public est très souvent constitué d'étudiants de première et deuxième année. Il y a donc des contraintes pédagogiques fortes et parler de la dimension infinie n'est en général pas utile et plus néfaste qu'autre chose. Idem pour la réduction, il y a déjà assez à faire sur $\C$, pas la peine d'essayer de faire un cours général sur d'autres corps que de toute façon les étudiants de deuxième année ne connaissent pas.

La mention de dimension finie ou de corps des complexes ne consiste pas à enlever des choses mais au contraire à en rajouter (hypothèses). Je ne regrette pas d'avoir fait mes études quand les profs ne considéraient pas que c'était un problème de parler d'espace vectoriel sur un corps tout de suite (même si dans les exemples le corps était $\R,\Q$ ou $\C$ et qu'on était dans $\R^2$ ou $\C^3$). Comme ça les énoncés étaient allégés et il y avait moins d'éléments potentiels à envisager pour la recherche de preuves.

Homo Topi · April 2020

Ce que je voulais dire, de manière un peu plus précise : si on reste sur l'exemple de l'algèbre linéaire, évidemment que dans mon cours, on a parlé rapidement des espaces de suites, de polynômes ou de fonctions. Mais c'était franchement restreint, l'accent était vraiment mis à fond sur les exemples "calculables" de la dimension finie. Et je ne trouve pas ça intelligent de faire faire aux étudiants des inversions de matrices et des calculs de déterminants au début du premier semestre, à ce stade-là ce ne sont pour eux que des calculs car la notion d'espace vectoriel est encore très mal assimilée.

Homo Topi · April 2020

Sinon, j'ai commencé à réfléchir à l'exercice de RLC. Il m'a l'air assez difficile pour l'instant.

Corto · April 2020

Foys : ce n'est pas complètement de ça que je veux parler, peut-être que je me suis mal exprimé. Je reprend l'exemple de la dimension, un des résultats classique de l'algèbre linéaire est "un endomorphisme est un isomorphisme si et seulement si il est injectif". Évidemment ce résultat est faux en dimension infinie, comme d'autres résultats ou définition il est plus facile à énoncer en dimension finie qu'infinie. On a alors plusieurs façons de procéder en tant qu'enseignant, quelques exemples :
1) On précise d'avance que tous les EV du cours seront de dimension finie. Puis on ne reparle plus jamais de dimension infinie.
2) On précise d'avance que tous les EV du cours seront de dimension finie mais on donne quand même les contres exemples de la dérivation et de l'intégration sur $\R[X]$ (ou $\K[X]$ si tu préfères ;-))
3) On précise pour chaque énoncé ce qui est valable en dimension infinie et ce qui n'est valable qu'en dimension finie.
Chacune de ces possibilités a des avantages et des inconvénients. Les étudiants n'apprennent globalement pas leur cours par cœur, avec la 2) on aura probablement plus d'étudiants pour qui il ne sera pas complètement clair que en dimension finie injectif $\Leftrightarrow$ bijectif. Avec la 1) on aura probablement plus d'étudiants qui seront sûrs de ce résultat mais aussi plus d'étudiants qui penseront que ce résultat se généralise à la dimension infinie. Les 3 possibilités que j'ai énoncé se défendent chacune et le choix doit être fait en fonction du publique visé, du nombre d'heures, des objectifs du cours etc.

Bref, je ne dis pas qu'il faut ou ne faut pas parler de dimension infinie ou d'EV sur un corps $\K$ de façon générale, ce que je dis c'est qu'il faut faire des choix et ces choix sont soumis à des contraintes pédagogiques qu'on ne peut pas faire semblant d'ignorer une fois sorti de la fac en disant "un bon cours d'algèbre linéaire doit parler des EV en toute généralité sans se restreindre à la dimension finie" alors que ces cours sont souvent destinés à des premières années (et pas forcément de math). En première année je préfère avoir des étudiants comprenant bien la dimension finie et n'ayant jamais vu la dimension infinie que des étudiants ayant vu les deux et qui s’emmêlent les pinceaux et ne savent plus quel résultat est vrai dans quelle situation.

Riemann_lapins_cretins · April 2020

La finalité du cours d'algèbre linéaire bac+2 étant la maîtrise des matrices, ça ne me choque pas de ne pas parler de dimension infinie autrement qu'en exemple, d'autant que les théorèmes sur les opérateurs se démontrent par des techniques d'analyse.
Même si je vais dans le sens de HT pour dire que l'algèbre linéaire, ce n'est hélas que du calcul (c'est pour ça que je n'aime pas), ce n'est pas par faiblesse pédagogique mais parce que c'est vraiment l'attendu du cours. Elle reste essentiellement un outil pour les autres branches des maths et pour l'info.

Dans ma promo de magistère en tous cas, il n'y avait pas de problèmes de généralisations hâtives de théorèmes de dimension finie (alors qu'il y avait de quoi dire des bêtises en physique quantique par exemple). Je ne sais pas à quel point le pas entre dimension finie ou Banach quelconque pose problème, mais le cloisonnement algèbre/analyse fait que pour beaucoup d'étudiants en cours d'apprentissage la manière de voir les choses en analyse fonctionnelle ne se fait pas forcément par l'algèbre linéaire (par exemple, voir les opérateurs comme des matrices infinies n'a pas d'intérêt niveau M1, donc on évite les pieds dans le tapis), enfin j'ai l'impression.

Foys · April 2020

Quand on dit qu'un espace vectoriel est un triplet $(E,\K,\iota)$, où $\K$ est un corps, $E$ est un groupe abélien et $\iota: \K \to Hom_{\text{grp}}(E,E)$ un morphisme d'anneaux (je laisse au lecteur le soin des formulations équivalentes "pour tout $\lambda$ dans $\K$" etc); on ne parle pas de dimension (finie ou infinie). Celle-ci est rajoutée dans la suite du cours.

On peut aller loin sans mentionner le concept de dimension tout de suite (on peut même faire $\R^d$ avec $d\geq 0$ sans introduire la dimension ni même le concept d'espace vectoriel).

Foys · April 2020

Les généralisations hâtives ne sont pas dues à un chapitre particulier des maths mais aux mauvaises habitudes induite par une formation initiale fautive: en maths on ne fait pas les calculs/déductions à tout prix pour se demander ensuite si "on avait le droit", on se sert de ce qui est disponible et de rien d'autre.

Foys · April 2020

Pour prendre un exemple assez frappant directement dans le fil: c'est bien parce qu'on est sur un corps(*) qu'on peut évoquer comme si elle allait de soi, la dichotomie dimension infinie/infinie (l'espace n'est pas de dimension finie => il est de dimension infinie). Ceci est faux pour des anneaux où sauf cas spécifiques la notion de dimension n'a aucun sens.
Cela montre que plutôt que de s'abstenir ou désapprendre à faire des généralisations hâtives (où a-t-on pu apprendre en premier lieu à en faire) il est plutôt utile pour l'étudiant de se demander d'où proviennent les résultats qu'il emploie (étant donné $d \in \N$ les endomorphismes injectifs de $\Z$-module de $\Z^d$ ne sont pas tous surjectifs).

[size=x-small](*)et que l'axiome du choix est allègrement sous-entendu dans ces développements, rappelons au cas où qu'il est équivalent à l'axiome de la base incomplète. Certes l'algèbre linéaire sur des anneaux généraux est un monde à part (le fait que sur un corps toutes les suites exactes sont scindées-faisant disparaître les phénomènes cohomologiques- et qu'il y ait toujours des bases induit à moindre frais des différences radicales justifiant une étude séparée) [/size].

Homo Topi · April 2020

Peut-être que ça dépend juste de notre façon d'apprendre. Pour ma part, j'aime bien rendre les mathématiques "aussi constructives que possible". Par exemple, j'aime bien dégager de ce qu'il se passe dans $\R$ les notions de distance, d'espace métrique, etc, pour montrer que la topologie générale n'est pas "sortie de rien", c'est une généralisation de ce qu'il se passait dans $\R$ et qui a très bien fonctionné.

Par contre, je ne vois pas comment donner la définition d'un espace vectoriel en se limitant à la dimension finie et aux corps "bien compris", donc pourquoi limiter le cours à ça ? Effectivement, les corps finis ou les corps de nombres, c'est compliqué en L1/L2 donc il n'y a pas lieu d'en parler en détail, mais construire le cours sans y mettre de fausses intuitions c'est important quand même. J'aurais aimé qu'on me fasse faire plus d'exercices sur les espaces vectoriels de dimension infinie juste pour apprendre à réfléchir davantage en termes des axiomes d'un espace vectoriel qu'en termes de calcul. Quand je dis "fausses intuitions", je donne un autre exemple : dans un cours d'algèbre bilinéaire de L2, je ne trouve pas absurde d'y mettre une remarque sur la caractéristique d'un corps et de dire "attention à la caractéristique 2". On peut se dire "à leur niveau, ils ne rencontrent pas encore ça" ou bien on peut mettre un ou deux petits exercices sur $\mathbb{F}_2$ et $\mathbb{F}_3$ pour que, quand ils rencontreront les corps finis, ils aient déjà un peu vu le truc ET appris à se méfier du corps de base d'une forme quadratique.

Comme souvent, on se retrouve à dire qu'il n'y a pas de meilleure façon de faire un cours parce que ça dépend de celui qui enseigne et de celui qui apprend.

Riemann_lapins_cretins · April 2020

D'accord avec le dernier message de Foys. Ne reprochons quand même pas notre penchant naturel à généraliser, qui fait aussi partie du savoir-faire que nous avons à acquérir. Il faut y réfléchir à deux fois avant de clamer ces généralisations haut et fort, mais ne pas "inventer" par soi-même les définitions de convergence dans un espace métrique ou topologique général, en n'ayant que l'exemple des suites dans R, me semble un peu inquiétant, pour donner un exemple.
De même, ne reprochons pas notre penchant naturel vers l'heuristique, qui nous pousse souvent à résoudre d'abord un problème en déroulant un raisonnement ou calcul et à se demander ensuite pourquoi (et donc si) ça marche, avec ce qu'on sait et rien d'autre.
Le problème c'est de valider ou non ces idées qu'on peut avoir. Le fait de franchir le pas tient plus de la truanderie en examen que d'autre chose à mon avis. Examiner en détail pourquoi chaque chose marche est effectivement l'idéal. L'exemple des modules par rapport aux espaces vectoriels est bon, il est vrai qu'avant de voir les premiers on ne voit souvent pas le rôle important que joue la structure de corps dans nos bricolages d'algèbre linéaire, et à quel point ce sont de petits bricolages qui justifient tous les gros théorèmes de structures.

Foys · April 2020

Tant que ça ne coûte rien moi je suis pour les énoncés généraux (du point de vue de l'algèbre linéaire les seules différences notables entre $\R^n$ et $\K^n$ sont le comportement du produit scalaire canonique -dû en fait à la structure de corps réel clos de $\R$ -et ses conséquences telles la diagonalisation des matrices symétriques, la seule distinction notable entre $\R^3$ et $\R^n$ est le produit vectoriel: quels sont les solutions dans $\N$ de l'équation en $n$: $\binom n 2 = n$ ? - faire le lien avec les algèbres extérieures).
Autrement, spécifier à $\R$ où $\C$ les résultats d'algèbre linéaire exposés aux débutants ne sert à rien, ça ne raccourcit pas les preuves qui sont les mêmes; et puis les gens qui feront crypto verront du $\mathbf F _p$.

topopot · April 2020

J'ai vu pas mal de cours se restreignant à la dimension finie (voire pire, ne précisant rien) et ne présentant pas d'abord les énoncés/définitions nécessitant aucune hypothèse sur la dimension ou le corps. Je ne supporte pas non plus les cours à finalité calculatoire qui négligent la théorie.

Un cours de réduction que j'adorerais prendrait cette forme : le plus général et propre possible (pas forcément du Bourbaki mais pas de particularisation inutile), avec des vraies preuves et à chaque théorème/proposition, des petits exemples quitte à ce qu'ils soient farfelus (sauf quand on peut faire simple !) pour montrer que les hypothèses peuvent ou ne peuvent pas être élargies quitte à parler de corps finis, de dimension infinie, sur le caractère algébriquement corps, insister sur les propriétés invariantes par extension de corps, l'application transposée (pour les sev stables !), donner la vision espace quotient ou la dualité lorsque cette dernière constitue une variante intéressante...
Et si le cours ne fait pas de racisme vis-à-vis de l'espace nul ou de la famille vide c'est encore mieux.
Malheureusement je n'en ai pas trouvé et je n'ai pas le niveau pour en rédiger un :-)

Foys : avez-vous un cours à conseiller sur le sujet (généraux, pas de spécifications/hypothèses inutiles) ?

Je vais regarder le cours de MM. Mansuy et Mneimné conseillé plusieurs fois.

Foys · April 2020

topopot
Ceci pourrait être la description fidèle du cours qui avait été fait en classe par mon génial prof de sup spé (j'avais mal lu et pensais qu'on parlait juste d'algèbre linéaire de base ; mes recommandations de lecture restent pertinentes) quand j'y étais élève.
Malheureusement il n'existe pas en livre et je n'ai pas eu besoin d'en consulter pour ce chapitre. Des livres de prépa CPGE pourraient contenir ton bonheur (essaie de voir si tu peux trouver des vieux précis Bréal par exemple, ceux d'avant 2000. Les gens conseillent souvent le Ramis Deschamps Odoux aussi, mais comme je ne l'ai jamais lu je ne sais pas ce qu'il vaut).

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Foys · April 2020

Un très bon livre d'algèbre un peu plus avancé (mais dont les chapitres sont plus ou moins indépendants ce qui fait qu'il peut se consulter comme un catalogue) est le "Algebra" de Serge Lang dont il existe une traduction en français.

topopot · April 2020

Merci Foys, je regarderai si je le trouve.

J'imagine malheureusement que tu n'as pas ces cours (même la sup) en dématérialisé.

Maxtimax · April 2020

J'arrive après la bataille mais je plussoie aussi la recommandation du Mansuy-Mneimné pour la réduction !

Sinon, pour apporter mon grain de sable à l'édifice : personnellement je suis un peu un mix entre Riemann_lapins_cretins et Calli : quand je suivais des cours, je les comprenais au fur et à mesure (en tout cas pour les trucs que je comprenais); mais aussi à chaque exercice agréable était associé un petit déclic (d'ailleurs je choisissais les exos que je faisais en fonction du déclic que je pensais qu'ils allaient m'apporter :-D )
Et j'avais aussi des déclics en réfléchissant au cours.
Mais c'est assez étrange parce que la manière dont je résous les exercices (quand j'y arrive) n'est absolument pas linéaire, elle est totalement fragmentée, et dans mon cerveau c'est du noir complet jusqu'à soudain bam un déclic et la résolution de l'exercice, sans n'avoir plus à y penser. Enfin ça c'est pour les matières que je comprends - l'analyse par exemple, je n'y comprends rien, pour moi c'est un formulaire d'astuces et de calculs qu'il faut apprendre par cœur pour espérer s'en sortir, enfin bien sûr, c'est comme ça que je le vois, je suis sûr que pour beaucoup de personnes c'est extrêmement naturel.

Pour répondre plus spécifiquement à ton zoom mental, HT, ce n'est pas évident de s'en sortir ; et d'ailleurs c'est un phénomène qu'on observe assez souvent en colle : l'élève est trop proche de son tableau, et ne se rend pas compte de choses évidentes. Là, le zoom est physique, mais d'expérience les deux phénomènes sont un peu similaires.
Ce que je pourrais te recommander pour essayer de "combattre" ça, c'est un truc qui n'est pas évident, mais de prendre conscience de quand tu es bloqué (que tu fais un "zoom mental"), sans nécessairement savoir d'où ton blocage vient, mais au moins voir qu'il est là. Une fois que tu as accompli ce passage conscient là, essayer de revenir au début de l'exo et comprendre pourquoi tu as emprunté le chemin que tu as emprunté. Retro-engineer ton raisonnement intuitif en quelque sorte.
Si à une des étapes tu n'as pas de justification de "pourquoi ce chemin ?", demandes-toi : y a-t-il d'autres chemins ?
Le point c'est que comme tu auras initié un processus conscient au début, tu auras plus de chances de réussir à éviter le blocage (en colle, je recommande aux élèves de faire quelques pas de recul par rapport au tableau, ça marche assez souvent - et mon interprétation c'est que c'est ce processus conscient qui permet de débloquer)
Bon je ne sais pas si ça peut t'aider, mais je partage cette idée à tout hasard.

Calli · April 2020

Maxtimax a écrit:

en colle, je recommande aux élèves de faire quelques pas de recul par rapport au tableau, ça marche assez souvent

Ah ouais, étonnant. Je n'aurais jamais pensé que ça puisse avoir un effet.

brian · April 2020

Maxtimax doit être une sorte de gourou. :-D

Homo Topi · April 2020

Maxtimax : un conseil reste un conseil, et je pense que ça pourra m'aider !

Maxtimax · April 2020

Calli : je me souviens que certains colleurs me demandaient de le faire, et ça marchait remarquablement bien sur moi. Du coup je dis de le faire, et je constate un certain nombre de succès (c'est jamais "ah je recule et j'ai la solution de l'exo", hein ! ça si ça marchait ... :-D mais parfois il y a un blocage qui n'a pas de raison d'être, à part la psychologie - et la proximité au tableau -; et le fait de reculer permet de "conscientiser" si on peut dire le blocage et donc de s'en écarter, enfin ça c'est mon interprétation)
(bon après c'est une impression globale hein, j'ai pas fait de stats, ni de groupes témoin évidemment)

brian : "La prière dans l'église de Maxtimax c'est qu'on se rapproche et on s'éloigne 7 fois du tableau" ;-)

PS: merci Alain de corriger mes nombreuses phôtes d'aurtograffe - dire que quand j'étais petit j'étais particulièrement doué : visiblement, écrire des maths plutôt que du français ne permet pas de maintenir cette capacité

Homo Topi · April 2020

Ben moi, tu vois, j'ai toujours eu une orthographe irréprochable, mais c'est en maths que je veux être doué :-D

Calli · April 2020

Max, pour moi ton truc sonne un peu comme un remède à la con du genre "si tu n'arrives pas à t'endormir, prends deux grandes inspirations, retiens ton souffle pendant 8 secondes et ça ira mieux", un peu comme dit brian (:P). Mais je tenterai peut-être de le faire quand les colles reprendront. On verra bien si ça marche. A priori ça ne peut pas être pire que quand j'essaie de faire deviner le nom d'un théorème ou une idée à un élève, parce que j'ai remarqué que ça échoue presque à chaque fois.

PS: Ça me rappelle que quand j'étais petit ma mère m'avait appris, quand j'ai le hoquet, à attendre que le hoquet survienne, à dire très distinctement et en articulant "Un enfant qui a le hoquet boit de l'eau sur un quai." et à se dépêcher d'avaler un grand verre d'eau. Vous avez déjà entendu parler de ce truc ou c'est juste dans ma famille ? Ça fait longtemps que j'ai arrêté de prononcer la phrase magique, mais je continue à boire de l'eau quand j'ai le hoquet. :-D Je ne sais pas si ç'a une quelconque efficacité.

Maxtimax · April 2020

Calli : oula, les remèdes pour l'insomnie pour le coup, si ça existait, je serais preneur :-D
Mais effectivement, c'est peut-être un truc à la con hein, comme je dis j'ai pas vérifié scientifiquement que ça marchait, et quand je dis que ça a du succès c'est juste une impression personnelle.

(pour ton PS, non moi je connaissais "il faut retenir sa respiration quelques secondes" )

gerard0 · April 2020

Bonjour.

S'éloigner du tableau, quand il commence à être bien rempli, permet de replacer ce qu'on est en train de faire dans un cadre précis, avec un but. Ça peut permettre de voir qu'on cherche autre chose que ce qui est utile, ou bien que l'on cherche quelque chose qui doit s'écrire ainsi, ou ...
C'est aussi un des rôles de la machine à café dans les labos de recherche :-)

Cordialement.

Riemann_lapins_cretins · April 2020

J'y crois au coup du tableau, on a vite fait de perdre toute vision d'ensemble en colle.

Homo Topi · April 2020

Quand on est penché au-dessus d'une copie aussi, d'ailleurs. J'ai un peu envie de penser qu'on "maîtrise" quelque chose quand on peut répondre aux questions sans s'investir dedans, sans avoir besoin de remplir beaucoup de brouillons.

Je ne sais plus où j'avais vu une citation du genre "si on n'arrive pas à faire un calcul de tête, c'est qu'on ne l'a pas compris". C'est un peu imagé (je "comprends" très bien $7^{7^7}$ mais je ne sais pas le calculer facilement de tête) mais ça a un peu de vraI.

Maxtimax · April 2020

Moi je suis d'accord avec la citation, dans la mesure où je ne comprends pas les calculs :-D

Flora · April 2020

Le

Edit

Cere · April 2020

En parlant de remède simple, tout énoncé d'exercice que je ne sais resoudre directement sans reflechir,je le réecris bêtement sur feuille, "à ma façon" (en abregeant quelques mots) au moins une fois.
Allez savoir pourquoi, mais sans faire ça, je n'arriverais pas à résoudre la plupart des ecercices que je reussis avec ce rituel. :-D

zeitnot · April 2020

Salut Homo Topi, tu joues aux échecs ?

J'ai lu ton premier message, je crois qu'on peut parfaitement l'appliquer quasiment mot pour mot à un joueur d'échecs !

Homo Topi · April 2020

Non, je n'y joue pas.

Moi vs exercice

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