Conseil pour la recherche
Bonjour a tous, j'espère que vous vivez bien,
je m'adresse à ceux qui font de la recherche ( dans tout type de domaine ).
Depuis quelques temps, je me dis qu'il faut que je fasse de la recherche en mathématique,
Pouvez vous me donner des conseils ( dans par exemple de la démonstration de théorème ) ?
Merci
je m'adresse à ceux qui font de la recherche ( dans tout type de domaine ).
Depuis quelques temps, je me dis qu'il faut que je fasse de la recherche en mathématique,
Pouvez vous me donner des conseils ( dans par exemple de la démonstration de théorème ) ?
Merci
Réponses
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Salut Mon_Crabe,
tu n'aurais pas un lien de parenté avec un dénommé pablo_de_retour par hasard ? -
euhh non ...
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humm, c'est exactement ce qu'aurait répondu Pablo_de_retour...
Bah qui sait, s'il passe par ici il pourra te conseiller convenablement étant donné qu'il recherche et qu'il trouve surtout.
Bonne chance à toi. -
ah d'accord merci !
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@Mon_Crabe : Tu peux préciser un peu plus ta demande ? Tu sais que c'est un travail à plein temps ? Tu veux démontrer des théorèmes qui existent déjà (c'est plutôt facile) ? Ou démontrer des théorèmes que la communauté mathématique ne connaît pas encore (c'est beaucoup plus difficile ; enfin c'est facile de démontrer des théorèmes nouveaux mais intéressants car évidents mais inventer des théorèmes qui intéresseront du monde, c'est autre chose) ? Quel est ton niveau ?
De plus, je ne sais pas si tu es au courant, mais il y a beaucoup de personnes qui caressent un espoir de transcendance, de célébrité, de richesse en faisant des maths en amateur et qui se lancent dans cette voie ; c'est probablement un très mauvais calcul car on n'a jamais vu (enfin je crois) de telle personne réussir. Alors bon, vu qu'on ne sait pas qui tu es ni d'où tu viens (je parle de prérequis, pas de géographie), on ne sait pas trop tes motivations. -
Bonjour,Goerges Abitbol a écrit:Tu veux démontrer des théorèmes qui existent déjà (c'est plutôt facile) ?
J'attends de voir ta preuve du théorème de Fermat-Willes. (:P) Et même sans aller jusqu'à cette extrémité, démontrer un théorème déjà existant est assez souvent difficile sans indication (édit : dans un temps raisonnable, disons sous le format d'un exercice). -
C'est que comme je n'ai aucune idée du background de Mon_Crabe, je me limite à dire de grosses généralités en attendant de pouvoir préciser. Mais, vu que tu me mets au défi, j'y vais !
Théorème : le théorème de Fermat-Wiles est vrai.
Démonstration : On sait que le théorème de Fermat-Wiles est vrai. Donc le théorème de Fermat-Wiles est vrai. -
Ce n'est pas exactement ça qu'on comprend ici quand tu dis "faire de la recherche".
Si tu veux apprendre à démontrer des choses pour commencer à faire des "vraies maths" c'est très bien. Moi, je te dirais : demande plutôt ce qui existe comme bons livres pour commencer à t'auto-former en mathématiques du supérieur, et prends-toi comme challenge d'essayer de faire les démonstrations des théorèmes du bouquin, dans l'ordre, en y réfléchissant toi-même au lieu/avant de les lire.
Personnellement, je te dirais bien de commencer par un livre sur la logique formelle et la théorie des ensembles, puisque la base des maths du supérieur c'est ça, mais en seconde je ne sais pas si c'est une très bonne idée. A méditer. -
Si tu lis l'anglais :
Decade Of The Berkeley Math Circle , volume 1 et 2
https://www.amazon.fr/gp/product/B01JNZJS9G/ref=dbs_a_def_rwt_bibl_vppi_i1
https://www.amazon.fr/gp/product/0821849123/ref=dbs_a_def_rwt_bibl_vppi_i2 -
@Cere : Ben le problème c'est qu'il y a des situations où la liste des théorèmes que l'on a le droit d'admettre ou non. Mais j'étais quand même sérieux ! Regarde :
Théorème : il n'existe pas de couple $(a,b) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = 1728$.
Démonstration : $1728 = 12^3$. Or, d'après le théorème de Fermat, il n'existe pas de triplet $(a,b,c) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = c^3$ et donc, a fortiori, il n'existe pas de couple $(a,b) \in \mathbb{N}^*$ tel que $a^3 + b^3 = 12^3$.
Tu acceptes ce raisonnement ? Si oui, tu ne peux pas refuser l'autre !
@Mon_Crabe : Ah d'accord ! Ok, ben, es-tu au courant de ce que veut dire le mot "démonstration" ? En fait, au collège et au lycée, on fait une discipline qui ressemble aux maths mais qui n'en est pas. Pour de vrai, faire des mathématiques, c'est faire des démonstrations, ni plus, ni moins. Mais en général, personne, dans le supérieur, ne va s'attendre à ce que tu saches démontrer tout tout seul sans inspiration ni indication. Est-ce que tu peux nous dire ce que tu entends par "recherche" ? Et est-ce que tu peux préciser tes intentions ? Tu veux t'avancer sur les maths que tu verras peut-être dans l'enseignement supérieur ? Tu veux t'amuser ? -
...Depuis quelque temps...
https://www.laculturegenerale.com/quelque-temps-orthographe/ -
@arroyo : Mmmmh, est-ce que la définition 1.1.9 ne suppose pas d'avoir déjà compris ? Et ce passage hyper-long sur "l'analyse-synthèse", c'est vraiment important ? Je pense que ça peut induire des contresens chez des gens qui n'ont pas déjà compris.
@Mon_Crabe : Est-ce que tu sais démontrer que dans toute foule, il existe une personne telle que si elle porte un chapeau, alors tout le monde porte un chapeau ? -
@George Abitbol. J'ai l'ambition de faire ULM, moi qui suis passionné par les mathématiques et par la recherche (et aussi par le piano). Je sais démontrer par récurrence, (bon ça peut m'arriver de me gourer quelques fois). Donc pour commencer je me suis dit qu'il faut peut-être démontrer certaines propriétés dans les cours.
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@Georges : Et si Mon_Crabe est intuitionniste ?
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Georges Abitbol: Que veux tu dire exactement? D'avoir compris ce qu'est une démonstration? Quant au passage sur l'analyse-synthèse, je suis d'accord que ce n'est pas le top. Le top, c'est un professeur qui l'explique avec un exercice à l'appui. Mais pour l'apprendre en autodidacte.. comment faire autrement?
Sinon, le problème de ce cours c'est qu'il requiert certaines connaissances j'ai l'impression. Par exemple l'auteur parle de corps bien avant d'avoir défini ce que c'est. Mais les trois premiers chapitres m'ont semblé abordable même sans connaissance particulière. Il s'agit juste d'une proposition de ma part, ce n'est peut-être pas la meilleure! -
Andrew Wiles raconte justement qu'en découvrant le théorème de Fermat à l'age de 10 ans il aurait fait le vœux d'être la première personne à démontrer ce théorème.G.A. a écrit:De plus, je ne sais pas si tu es au courant, mais il y a beaucoup de personnes qui caressent un espoir de transcendance, de célébrité, de richesse en faisant des maths en amateur et qui se lancent dans cette voie ; c'est probablement un très mauvais calcul car on n'a jamais vu (enfin je crois) de telle personne réussir. -
@gai_requin : Mmmmmh, tiens, je vais y réfléchir. Ma première réaction aurait été de me dire : "si la foule est finie, ça ne devrait pas poser de problème" mais je suspens mon jugement pour le moment.
@Mon_Crabe : Ah ben si c'est Ulm qui t'intéresse... Ben le meilleur conseil que je puisse te donner, c'est de prendre un polycopié de prépa ou de fac, d'un premier cours d'analyse ou d'algèbre, de le lire, et de ne jamais (c'est très important) te dire "oh je crois que j'ai compris". A tout moment, tu dois être sûr.e d'avoir compris tout ce que tu as lu (ou alors te dire que tu acceptes sans avoir compris mais que tu reviendras dessus un autre jour parce que tu en as marre). En fait, il est possible que l'enseignement secondaire t'ait inculqué des idées fausses sur les maths, et si tu veux aller à Ulm il vaut mieux débusquer ces idées fausses et les éradiquer de ton cerveau. De plus, trouve-toi quelqu'un qui a réussi en maths dans le supérieur et à qui tu puisses soumettre des rédactions que tu ferais pour t'entraîner et qui te corrigerait. Le forum est un bon endroit pour ça ! Bref, mon conseil c'est surtout d'éviter une erreur : de croire qu'on a compris alors qu'on a pas compris. Pour ça il faut lutter contre soi-même, et parfois on a besoin que d'autres personnes nous montrent nos erreurs parce qu'on a trop d'orgueil pour les voir !
EDIT :
@arroyo : Ben définir "il existe" par "il existe" c'est bof. En fait, quand je vois les micmacs que font certaines personnes avec les variables liées ou pas, et que je vois le peu de temps que Troesch y consacre dans ce poly... Christophe c a dit un jour qu'il y avait deux catégories de personnes : celles qui comprennent le langage mathématique toutes seules et qui ont de bons résultats en maths sans faire trop d'efforts, et celles qui ne le comprennent pas, travaillent beaucoup et ont des mauvaises notes. J'adhère à cette idée. Et, partant de là, je me dis que ce préambule de Troesch n'aidera personne : les personnes de la première catégorie n'en ont pas besoin, et les autres ne retireront rien de quelques définitions (quand je dis "rien", c'est "rien d'opérationnel" : c'est comme si pour expliquer la règle des échecs tu disais que les fous bougent à leur image, de manière bizarre, ni en ligne, ni en colonne, blablablabla ; les personnes qui savent déjà comment bouger un fou font "oui oui" et les autres, ça ne leur sert à rien parce que ça ne leur permet pas de savoir comment bouger leur fou, et elles essaient de le bouger comme un cavalier, et on leur dit "non, un fou ne bouge pas comme ça", et ça dure pendant des années où, au mieux, elles finissent par y arriver trois fois sur quatre en ayant à chaque fois la peur au ventre de ne pas bouger correctement le fou, et au pire, y arrivent une fois sur quatre et se contentent de cette situation). -
Georges : il ne faut pas oublier que ce poly est censé être accompagné d'un cours - en particulier il n'avait pas été écrit avec en tête des étudiant.e.s qui le liraient seul.e.s, ça explique sûrement parfois les passages où "il faut comprendre pour comprendre".
(en l'occurrence, j'ai jeté un oeil à la définition 1.1.9, et malheureusement : il n'y a pas d'autre définition par des mots de $\forall$ et $\exists$ (la seule autre manière de leur donner un sens c'est par des règles formelles, qui n'ont bien entendu par leur place en sup))
(pour ta question après sur la finitude : je te suggère de réfléchir à ce que peut vouloir dire fini en intuitionniste ;-) et puis même avec ça en tête, d'essayer de prouver ton résultat, tu verras que ce n'est pas si évident (:P) - j'avais parlé d'un truc similaire "récemment" à propos du fait qu'un ensemble ordonné fini a toujours un élément maximal : intuitionnistement...)
arroyo : même remarque - en principe ces passages sont accompagnées d'une explication orale
(tiens, d'ailleurs je viens de me souvenir qu'on m'avait parlé de corps en terminale )
Mon_Crabe : vouloir faire des maths est une belle ambition. Tu dis avoir le niveau fin de terminale spé maths, ça peut être un bon moment effectivement pour commencer à réfléchir un peu de ton côté à des vraies démonstrations.
Personnellement, la matière que je trouve la plus formatrice pour apprendre à démontrer, c'est l'arithmétique (au programme de spé maths si je ne m'abuse), dans mon esprit ce sont les premières démonstrations que j'aie jamais faites. En conséquence, je te conseillerais d'essayer de revoir un peu ce programme d'arithmétique en spé maths et d'essayer de tout (re?)démontrer; avec comme unique axiome le principe de récurrence.
Tu verras alors quels types de raisonnements te posent encore problème etc. et je pense que tu seras alors beaucoup plus proche de comprendre ce qu'est une démonstration. Tu pourras en particulier t'appuyer sur le forum, s'il y a des points peu clairs, ou des incompréhensions : poser des questions ici, et obtenir des réponses adaptées. -
Maxtimax: Je n'en doute pas. Sans vouloir être indiscret, j'aimerais bien savoir où tu étais en terminale, parce que pour moi c'était strictement limité au programme! Et d'ailleurs, on ne faisait pas du tout de démonstration, pourtant je crois qu'il y en avait au programme. Ils appelaient ça les ROC je crois. Je n'ai pas fait de MPSI, mais mon prof de sup ne m'a jamais parlé de corps non plus. (Avec le recul il aurait pu, car je me souviens lui avoir un jour posé une question concernant le $\mathbb{K}$ des espaces vectoriels :-D.) L'éducation au lycée (enfin, même au collège..) change beaucoup en fonction de l'endroit où on se situe.
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@Max : Mmmmh, moi j'utilise la "métaphore" de la sémantique des jeux (je joue les lettres qui ont un $\forall$ devant elles, les étudiant.e.s jouent les lettres qui ont $\exists$ et on regarde qui gagne à la fin) et j'ai l'impression que c'est un peu plus opérationnel. Mais sinon, un truc du style (Troesch le dit plus ou moins, plus loin) : pour démontrer $\exists x, F(x)$ il vous suffit de proposer un $x$ et de démontrer $F(x)$ ; pour démontrer $\exists x, F(x) \Rightarrow truc$, vous avez le droit d'écrire "soit $x$ tel que $F(x)$" et de supposer, après ça, $F(x)$ ; et des trucs du style pour $\forall$, ça ne t'irait pas ?
Je me prononçais juste sur l'utilité de lire le poly en seconde, dans l'éventualité où on ne maîtrise pas le langage mathématique a priori :-)
Je continue de réfléchir à la personne au chapeau. -
Georges Abitbol: Je vois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas où tu veux en venir :-D. C'est comme ça qu'on m'a définit les quantificateurs aussi, ça m'a paru clair mais admettons que ça ne le soit pas pour quelqu'un, alors ce quelqu'un comprendra à force d'exos et de démonstrations. Comment voudrais-tu les définir autrement dans un cours?
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Georges Abitbol a écrit:En fait, au collège et au lycée, on fait une discipline qui ressemble aux maths mais qui n'en est pas.
C'est exagéré, mais ç'a une part de vrai (et j'aime bien la façon dont c'est formulé). En fait ce sont des maths Canada Dry ! Les maths de secondaire sont dorées comme des maths, leur nom sonne comme un nom mathématique… mais ce ne sont pas des maths. ;-) -
Bonsoir Mon_Crabe,
Vous pouvez peut être commencer par les MOOC de FUN de la collection mathématiques.
1 - Dérivation et étude de fonctions
Cordialement,
Geodingus -
Bonjour @Mon_Crabe,
Je te conseille de te tourner vers les olympiades de mathématiques.
Tout dépend d'où tu habites, il y a même des clubs pour préparer les olympiades, comme le club de mathématiques discrètes à Lyon.
Tu pourras remarquer que un certains nombres de personnes ayant intégrer ULM ont fait des préparations pour les olympiades, c'est très formateur.
Je digresse un peu, mais si l'on reformule ton premier message en un message du genre
"Quelles choses formatrices puis-je faire pour intégrer ULM, sachant que je suis en seconde et que je connais le programme de maths du lycée ?"
Je te conseillerais aussi de t'amuser à t'initier au Competitive Programming.
En gros, c'est comme s'initier aux olympiades de maths, mais en informatique.
Il y a plein de sites très bien pour cela et qui entraînerons ta réflexion mathématique, comme CodeForce en anglais ou bien France-ioi en français.
Mais encore une fois, je digresse peut-être. -
Très bien merci a tous pour vos conseils. !
-
arroyo : oula, j'ai un peu honte de là où j'ai été en terminale parce que c'était un lycée privé :-D (pour ma défense, c'était imposé par mes parents)
toujours est-il qu'on dépassait un peu le programme par moments, et j'appréciais bien cet aspect-là.
Georges : c'est vrai que la version théorie des jeux des quantificateurs est bien, "moi vs le diable" (si j'ai un $\exists$, c'est moi qui joue, un $\forall$, c'est le diable qui m'impose son désir). ça revient essentiellement à ce qu'écrit Troesch plus loin, et c'est la version informelle de la version "preuve formelle".
Je l'aime bien, mais je ne suis pas sûr que ce soit bien de l'introduire comme ça - j'ai l'impression qu'il faut dire que c'est "pour tout" et "il existe", et après expliquer comment on prouve après (un peu comme quand tu définis des objets mathématiques : tu dis de qui il s'agit, puis comment les manipuler). Cela dit, tu as raison en partie, et je retire l'aspect affirmatif à 100% de mon message d'avant.
(petite question : pourquoi tant de gens écrivent "ULM" et pas "Ulm" ? A tout hasard, je précise que ce nom vient du nom de la rue : "la rue d'Ulm", ce n'est pas un anagramme pas anagramme évidemment, je voulais dire sigle, acronyme)
(et le nom de la rue, lui, vient d'une ville en Allemagne, plus précisément d'une bataille napoléonienne qui s'est déroulée pas loin de ladite ville)
(en particulier, malgré peut-être certaines envies, il n'y a pas de planeurs à l'ENS :-D ) -
@Georges et Max : On m'avait donné une autre version du coup du chapeau dans un bar. :-D
Ça se fait bien avec le tiers exclu mais le questionneur affirmait que ce n'est pas un théorème intuitionniste.
Je n'ai aucune idée du pourquoi... :-S -
@maxtimax
Pour ma part pour l'ENS Ulm, c'est juste que je trouve ca plus parlant avec majuscule, si je parlais de l'ENS Lyon en disant "Lyon" cela ferait bizarre par exemple.
Il y aussi la taille ses majuscules, en titre de mail de chapitre par exemple: "Theorie de la Mesure et Intégration" alors qu'en soit cela ne se fait pas.
Edit:J'espère que tu ne m'en veux pas. -
Cere a écrit:ENS Lyon
ENS de Lyon.
PS: Pour explication: L'ENS de Lyon s'est effectivement appelée simplement "ENS Lyon" à une époque, de nos jour, le nom officiel est ENS de Lyon, et les Lyonnais sont très attachés au de, et corrigeront invariablement toute personne faisant cette faute :-D.
Edit: en fait, cet attachement à cet article relève peut-être aussi d'une espèce de blague entre les normaliens lyonnais, mais bon, on dérive (:P) -
Cere : C'est vraiment à moi que tu parles ? Ça n'est pas plutôt à Maxtimax (c'est lui qui parlait des gens qui écrivent Ulm en majuscules) ? Je n'y comprends rien. :-(
-
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Dans ce contexte, "Lyonnais" désignait "normaliens Lyonnais" (:P), j'aurais dû préciser.
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Anagramme est un substantif de genre féminin.
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Je me demandais comment on formalisait en termes de logique propositionnelle et de quantificateurs le problème de Georges Abitbol sur les chapeaux.
Je pensais à une démonstration par récurrence. On vérifie que c'est vrai pour une foule composée de $n=2$ personnes:
... -
Ben je dirais que c'est $\forall P, \ \exists x (P(x) \Rightarrow \forall y, \ P(y))$. Sacrée foule que tu nous montres là
! -
@ df Pour la photo du natif d'Ulm, chapeau !
amicalement,
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Ev : (tu)
-
Cere : évidemment que je ne t'en veux pas :-D
Mais ça reste surprenant
(moi je dis bien "Lyon" en référence à l'ENS de Lyon)
Georges : en principe, la quantification sur $P$ ne se fait pas au même niveau en logique du premier ordre (mais je me rends compte que df n'avait pas imposé cette restriction) -
bonjour Mon_Crabe
tu es en seconde et tu souhaites faire de la recherche mathématique, bravo !
tu as intérêt à commencer par quelques points précis des chapitres mathématiques qui te passionnent
par exemple les polyèdres de l'espace $R^3$ ou les polytopes réguliers de $R^4$
tu n'es pas obligé d'éplucher les ouvrages reconnus sur ces chapitres, ni a fortiori les paraphraser
ton intuition va t'engager sur une conjecture (une propriété envisagée) concernant ces objets mathématiques
et le désir de la vérifier et de la démontrer va te faire faire des sauts dans d'autres chapitres des mathématiques
qui vont t'obliger à élargir ton horizon de recherche, tu deviendras alors généraliste des mathématiques
et tu pourras sereinement candidater au concours ENS-Ulm !
bonne chance -
@Mon_Crabe : puisque tu parles de récurrence, petit exercice : trouver l'erreur dans le raisonnement suivant.
Théorème : Soit $n$ un entier naturel non nul. On met dans une salle $n$ personnes. Si l'une de ces personnes est moustachue, alors tout le monde est moustachu.
Démonstration : C'est trivialement vrai pour n=1.
Supposons maintenant que c'est vrai pour $n$.
On met $n+1$ personnes dans une salle, parmi lesquelles il y a au moins un moustachu, que j'appellerai X.
On fait sortir de la salle une personne autre que X, que j'appellerai Y.
Il reste $n$ personnes dans la classe, donc par l'hypothèse de récurrence ces $n$ personnes sont moustachues.
Il reste un doute sur la moustachure de Y.
On fait rentrer Y dans la salle et on fait sortir n'importe qui d'autre.
On réapplique l'hypothèse de récurrence et le tour est joué.
P.S. : J'ai tellement bien rédigé que du coup ça devient trivial de trouver l'erreur, lol -
Autre petit exercice, sérieux celui-là : le lemme des mariages.
Soit $n \geq 1$. $n$ filles désirent se marier. Chacune des filles donne une liste (de préférence non vide, mais pouvant être réduite à un élément) de tous les garçons qui seraient susceptibles de l'intéresser.
Problème : marier toutes les filles, de telle sorte que chaque fille soit mariée avec un des garçons de sa liste.
Tu remarqueras au passage que les garçons n'ont pas leur mot à dire, ce qui simplifie largement le problème.
Commençons par analyser la question : par exemple, si tu trouves un groupe de 4 filles qui, à elles toutes, ne sont intéressées que par 3 garçons, ça va pas le faire.
En généralisant, tu vois qu'il y a une condition nécessaire triviale : $\forall p \leq n$, tout groupe de $p$ filles doit être intéressé (à elles toutes) par au moins $p$ garçons.
Lemme des mariages : cette condition nécessaire est en fait suffisante. -
Celui ci http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,2015682,2017138#msg-2017138 ferait un bon exo pour OShine je crois.
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Je fais sous cette forme : dans une boite de crayons de couleurs ,ils ont toujours tous la même couleur .
Même "raisonnement par récurrence"
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Bonjour!
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