Conduire sa pensée en mathématiques

Bonjour,
En général, j'écris au brouillon pour tenter des choses sans qu'il ne passe rien de particulier dans mes pensées. Si je ne sais plus trop quoi tenter, je fais autre chose et remets à plus tard le problème (si possible). Des fois quand je suis vraiment bloqué je me dis "mais qu'est-ce que je pourrais bien faire, là ?". Mais quand j'arrive à ce point, je sors rarement de mon blocage, ou alors avec force réflexions qui peuvent donner plus ou moins mal à la tête et avec difficulté.

Edit : JLT, il ne faut pas supprimer mon "bonjour". ;-)

Maxtimax a écrit:

Typiquement, en topologie je fais parfois des dessins, mais ultra-basiques (genre un cercle mal fait) qui ne servent à rien concrètement, mais qui aident à débloquer - même si je n'ai rien fait d'autre que le dessin, j'ai parfois l'impression que je n'aurais pas trouvé sans.

Ça me rappelle qu'au premier contrôle de maths en MPSI, il y avait la question : soient $E$ un ensemble tel qu'il n'existe aucune surjection $\Bbb N\to E$ et $(u_n)$ une suite d'éléments deux à deux distincts de $E$ ; montrer que $E$ et $E\setminus \{u_n\mid n\in\Bbb N\}$ sont en bijection. Le prof avait dû la juger un peu plus dure que les autres parce qu'elle avait une étoile (je ne sais pas si l'étoile était justifiée). Je ne savais pas quoi faire. J'ai dessiné une patate – c'est $E$ – puis un trait dans la patate – c'est $(u_n)$. Bon. Puis je dessine un second trait dans la patate sans vraiment y réfléchir. Et là dans ma tête : "ah tiens, je vais poser $(v_n)$ une deuxième suite d'éléments de $E$ deux à deux distincts et distincts des $u_n$, et grâce à ça je peux poser la bijection bla bla...". C'est marrant :-D. Mais j'ai rarement des déclics de ce genre (c'est le seul dont je me souviens).

Maxtimax a écrit:

D'accord avec Calli sur l'aspect écrire sans que rien ne se passe; parfois juste écrire des truc vides ça permet de débloquer.

Je ne voulais pas dire qu'il ne se passait rien dans ma tête (j'ai dit "rien de particulier"). Par exemple dans un exercice d'analyse, je vais essayer telle technique d'analyse que je connais et qui me vient à l'esprit, donc j'écris les calculs sur le papier (le cerveau travaille, mais assez mécaniquement) ; si ça ne marche pas, je vais essayer telle autre méthode, et hop re-brouillon, etc. Mais on ne réfléchit pas forcément de la même manière quand on fait de l'analyse ou de l'algèbre. ;-)

Pour moi c'est un mélange de représentations visuelles et de raisonnement verbal.

Un exemple pour cet exercice : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2069016,2069016#msg-2069016

1) Je vois une expression du type $a x+(1-a)y$, donc je pense à un barycentre. Je me représente $u_{n+1}$ entre $f(u_n)$ et $u_n$, et très proche de $u_n$.

2) Je vois que $f:[a,b]\to [a,b]$ donc $u_n$ reste bien dans l'intervalle $[a,b]$. Je me représente un segment avec une suite de points dessus, telle que deux points consécutifs soient de plus en plus proches.

3) Le dessin me rappelle le fait que $[a,b]$ est compact et que toute suite à valeurs dans un compact admet une valeur d'adhérence.

4) J'essaye de me représenter ce que fait la suite lorsqu'elle s'approche d'une valeur d'adhérence, mais ça ne donne rien, la suite peut balayer l'intervalle.

5) En voyant la suite de points balayer l'intervalle, je vois que les points ne balaient pas tout l'intervalle mais qu'il y a une plus petite valeur d'adhérence $\alpha$ et une plus grande $\beta$. Je me représente des points qui montent de $\alpha$ vers $\beta$, puis qui redescendent, etc. et je vois que l'ensemble des valeurs d'adhérence est $[\alpha,\beta]$.

6) Je tourne un peu en rond dans mes pensées, alors je regarde un "cas particulier" : $a_n=1$. Ce n'est pas vraiment un cas particulier puisque la suite $(a_n)$ doit tendre vers $0$ mais faisons comme si. On se retrouve avec $u_{n+1}=f(u_n)$ et dans ce cas $(u_n)$, si elle converge, doit tendre vers un point fixe.

7) Peut-être qu'il faudrait d'abord voir si $f$ admet un point fixe. Je me souviens de l'exercice classique que si $f:[0,1]\to [0,1]$ est continue alors elle admet un point fixe, donc c'est une bonne chose.

8) Rien ne prouve que ce point appartient à $[\alpha,\beta]$ mais faisons comme si pour le moment. Je m'imagine un point $\gamma\in [\alpha,\beta]$ tel que $f(\gamma)=\gamma$ et je visualise $u_n$ très proche de $\gamma$... mais ça ne donne rien, je vois des points qui se rapprochent de $\gamma$ mais je ne vois rien qui les empêchent de s'éloigner ensuite.

9) Peut-être qu'il faut déjà montrer qu'il existe un point fixe dans $[\alpha,\beta]$. Pour cela il suffirait de montrer que $[\alpha,\beta]$ est stable par $f$. Si c'est vrai, alors il faudrait que $f(\alpha)\geqslant \alpha$.

10) Je raisonne par l'absurde : supposons que $f(\alpha)<\alpha$. Je me représente un point $u_n$ très proche de $\alpha$, tandis que $f(\alpha)$ est beaucoup plus gauche. Alors $f(u_n)$ est aussi beaucoup plus à gauche, et comme $u_{n+1}$ est attiré par $f(u_n)$, je vois que $u_{n+1}$ est à gauche de $u_n$. Je vois donc une suite de points qui se déplace petit à petit vers la gauche, et ça me rappelle le théorème qu'une suite décroissante minorée converge, et c'est gagné.

11) Je vois immédiatement qu'on peut raisonner de même pour $\beta$, donc on a aussi $f(\beta)\leqslant \beta$.

12) Ceci prouve que $f$ admet un point fixe dans $[\alpha,\beta]$ (je vois le graphe de $f$ qui démarre au-dessus de la diagonale et qui finit en-dessous, donc le graphe doit croiser la diagonale) mais ça ne m'avance pas plus, je tourne encore en rond comme au point 6) avec des schémas qui ne mènent à rien.

13) Quelques minutes après je prends $\gamma\in [\alpha,\beta]$ et j'essaye d'appliquer le même raisonnement que pour $\alpha$. Je vois que la "dynamique" marche tant que $u_n\geqslant \gamma$ mais ça m'embête parce que $u_n$ peut être des deux côtés de $\gamma$, donc quand $u_n$ est gauche la suite de points s'éloigne petit à petit.

14) Je me refais un schéma dans la tête avec $f(\gamma)>\gamma$ et $u_n$ très proche de $\gamma$, vers la droite. Alors $u_{n+1}$ est attiré vers la droite, donc ne peut pas s'approcher de $\gamma$ par la droite. Bingo ! On a trouvé que $f(\gamma)>\gamma$ est impossible, et l'inégalité inverse aussi, donc $f(\gamma)=\gamma$.

15) Je vois que tout le segment $[\alpha,\beta]$ est constitué de points fixes, et comme j'ai visualisé des points $u_n$ dessus, je vois que $f(u_n)=u_n$, et comme $u_{n+1}$ est sur $[f(u_n),u_n]$ je vois que la suite de points s'arrête de bouger.

Les Methodix ;-) ?

Oui, et la plupart du temps ça amène à écrire des grosses âneries comme dans ce message. Le meilleur moyen de passer pour un imbécile.

Tu devrais apprendre à te taire !

@Lucas : Le mot "imbécile" de gerard0 est un peu fort. En fait, tu as le droit d'écrire ce que tu veux, tant que c'est sur ton brouillon. C'est, disons, une phase de recherche, qui aboutit à une proposition de solution. Mais il ne faut pas négliger l'étape suivante : il faut relire la proposition de suggestion et se demander : 1) est-ce que si une autre personne que moi lisait ça, elle comprendrait ou arriverait à lire ce que je veux dire ? 2) est-ce que cette personne serait convaincue, pas pour me faire plaisir, mais vraiment au niveau des tripes, que ce que j'ai écrit est une solution à l'exercice ? Si ta proposition de solution ne passe pas ces deux tests, alors il vaut mieux ne rien dire du tout.
C'est un peu comme aux échecs : tu peux jouer des coups au hasard dans ta tête, mais les coups que tu joues réellement sur l'échiquier, il vaut mieux que tu sois convaincu que ce sont des bons coups, sinon c'est idiot de jouer ! Les échecs, tout comme les maths, ne sont pas un jeu de hasard.

@Boole et Bill : Moi, la première chose que je fais, c'est : est-ce que je n'ai pas déjà lu la solution de cet exercice quelque part ? Et si la réponse est non, à partir de là je ne sais pas trop comment je fais :-D

Bonsoir Boole et Bill,

bon je ne sais pas si ça compte, car je ne fais pas des Maths de votre niveau. Personnellement, j'ai besoin de poser des images sur les concepts mathématiques et de construire une histoire hors- mathématiques pour comprendre le concept.

Par exemple pour la démonstration de la lois de De Morgan.
Je définis l'ensemble E que j'appelle gâteau.
Une partie A qui s'appelle brownie
Une partie B qui s'appelle Cookie
L'intersection des deux qui sera le Brookie ( ça existe vraiment le brookie :-) ) et ainsi de suite, je me construis une petite histoire et après je traduis en langage mathématique (A union B ) barre c'est ça, donc on a ceci ou cela etc...

Voilà voilà,
Bonne soirée à vous ;-)