Apprendre et comprendre les démonstrations ?
Bonjour a tous, j'avais créé un sujet afin de m'enrichir de conseils a propos de la démonstration en mathématique.
J'ai démontré pas mal de formule.
Mieux vaux apprendre et comprendre une démonstration, que l'on "recrache" avec explication ? ou chercher, chercher et chercher plusieurs semaines ?
J'ai démontré pas mal de formule.
Mieux vaux apprendre et comprendre une démonstration, que l'on "recrache" avec explication ? ou chercher, chercher et chercher plusieurs semaines ?
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Réponses
En phase d'apprentissage d'un chapitre, je pense que l'idéal est de réfléchir à chaque preuve, mais on va dire une demi-heure au plus, pour faire les démonstrations permettant de manipuler les nouveaux outils et ne pas s'embourber dans celles trop dures pouvant demander une idée spéciale qui parfois est si ingénieuse que l'Histoire l'a retenue.
En exercice par contre je pense que c'est bien d'apprendre à sécher des jours ou des semaines.
Pratiquer le plus possible reste le mieux pour que les choses durent et pour manipuler les outils dès le début afin d'être opérationnel une fois la lecture du chapitre achevée.
Ok, mais pour démontrer il n'y a pas une astuce pour savoir quelle type de démonstration c'est ?
Si on démontre par récurrence, absurde, équivalence, etc ?
Car à chaque fois que je fais un exercice de démonstration je ne sais jamais quoi utiliser je fais au hasard ...
Merci.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Si par exemple tu dois prouver "pour tout entier naturel $n$, ...", et qu'une démonstration directe ne se présente pas, tu peux penser à une récurrence.
Si tu dois montrer une implication $A\implies B$, tu peux commencer par essayer de supposer $A$; et si ça ne marche pas, de supposer $\neg B$, voire les deux (démonstration directe; démonstration par contraposée; démonstration par l'absurde)
En général les exercices qu'on rencontre (pas forcément les problèmes de mathématiques en général) sont posés de telle sorte qu'une voie de démonstration est visible. Celle-ci n'aboutira pas forcément, mais on a souvent (sinon toujours) intérêt à regarder ce que cette voie donne : pour prouver "$\forall x$, ...", on se donne un $x$ est on cherche à prouver la suite etc.
Quand ça ne marche pas, on varie (dans le cas des entiers, une récurrence; ou dès lors qu'on a un "variant" entier, comme la dimension ou le cardinal; sinon des contraposées, de l'absurde etc. ). Le mieux (pas toujours facile) est d'analyser pourquoi la démonstration directe ne marche pas, et de voir quelle technique permettra de dépasser ces problèmes.
Mais savoir comment commencer une démonstration, c'est toute une technique, et ça requiert de l'entraînement : c'est une bonne grosse moitié du travail (jusqu'à un certain niveau, du moins), donc si c'était si facile, ça se saurait !
A priori, tu fais ce que tu veux, tu choisis ta méthode, puis tu regardes au brouillon ce qu'elle donne. Au brouillon, parce que si tu n'aboutis pas, tu regarderas une autre idée(*). Il existe d'ailleurs des questions qu'on peut résoudre par plusieurs méthodes, donc si tu sais faire une des méthodes, il faut la développer jusqu'au bout (solution ou blocage).
Mais il n'existe pas de "méthode générale" qui t'éviterait d'avoir à penser, à chercher. Et même, attention à la fausse règle "il y a un entier naturel dans la question, je fais par récurrence" (**).
Cordialement.
(*) et aussi parce que ça permet d'écrire à toute vitesse, en laissant de côté les explications, et voir rapidement ce que ça va donner.
(**) par exemple "Montrer que la différence entre les carrés de deux entiers naturels successifs est un impair" se fait en une ligne, directement.
Il est aussi indispensable de connaître son cours et surtout comment il s'applique. Parce que les hypothèses qu'on a dictent souvent (je parle pour des concours/examens) les théorèmes à employer (on a rarement des hypothèse superflues lors d'un devoir), et un bon cours montre normalement comment s'utilisent et s'articulent les théorèmes.
Concernant les démonstrations, il ne faut surtout pas les apprendre par coeur. Il faut apprendre par coeur les définitions et théorèmes, mais les preuves ce serait trop demandé. Il faut déjà comprendre parfaitement la preuve, et ensuite essayer d'en retenir l'idée (voire les idées, mais généralement jusqu'à bac+3 les preuves ne font pas appel à 50 idées clef en même temps) principale. Si on a bien compris la preuve, ça permet d'ailleurs bien souvent de la retrouver ensuite.
Il est bon de sécher sur des exercices un certain temps, même si on a l'impression de ne pas avancer autant qu'en faisant plein d'exercices et en regardant la solution. Après si on ne trouve jamais, c'est que le niveau est trop élevé et qu'il vaut mieux faire plus simple ou regarder plus souvent la correction. C'est un équilibre à trouver en fonction du temps qu'on a et de ses objectifs.
Bien évidemment, avant de sécher, il faut déjà avoir un background suffisant, c'est-à-dire maîtriser le cours, savoir faire les exercices de base. Ca ne sert à rien de sécher d'entrée sur un exercice d'un domaine nouveau quand on n'a pas encore les bases ou les réflexes du domaine mathématique en question.
Cette propriété est vraie pas seulement pour les carrés successifs mais pour toute puissance d'entiers successifs ($n^k,(n+1)^k$) du fait qu'un entier et n'importe quelle de ses puissances non nulles ont la même parité, que deux entiers successifs n'ont pas la même parité, et que soustraire un nombre d'une certaine parité à un nombre de la parité opposée donne un nombre impair.
En même temps celui ou celle qui essaierai de démontrer cette propriété sur les carrés procèderait sûrement de la sorte:
Il suppose que $(n+1)^2-n^2$ est impair et il s'intéresse à $(n+2)^2-(n+1)^2=n^2+4n+4-n^2-2n-1=2n+3$
Même en étant "vicelard": $(n+2)^2-(n+1)^2=\Big((n+1)+1\Big)^2-(n+1)^2=(n+1)^2+2(n+1)-(n+1)^2=2(n+1)+1$
Ou bien, même $(n+2)^2-(n+1)^2=\Big(n+2-(n+1)\Big)\Big(n+2+n+1\Big)=2n+3$
Il faudrait vraiment être "dogmatique" pour persister dans l'idée qu'il faut une démonstration par récurrence. B-)-
Bref, on peut partir sur une idée et l'"amender" parce qu'on se rend compte que c'est une idée trop compliquée et qu'il y a beaucoup plus simple sans efforts supplémentaires.