Des p'tites nouvelles et une intégrale
dans Analyse
Bonjour tout le monde !
Je profite de ce fil pour donner de mes nouvelles. Sur le plan familial c’est le bonheur, ma fille Violette a décidé de grandir bien plus vite que je ne l’imaginais et elle est merveilleuse. J’ai déménagé dans un appartement plus grand et nous sommes heureux de ce confort nouveau. Sur le plan professionnel, mon nouveau métier de professeur me donne BEAUCOUP de fil à retordre. J’ai pensé à abandonner plusieurs fois, je l’aurais surement fait si je n’étais pas responsable de ma famille. Sur le plan mathématique, c’est le calme plat à mon grand regret, je ne trouve pas l’énergie ni le temps. En fait je m’y suis remis hier avec un peu d’intégration et j’ai pu constater à quel point tout s’oublie vite lorsque l’on ne pratique pas. Pour vous donner un exemple, je suis bloqué depuis hier (sans avoir trop forcé non plus) sur le calcul de \[\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt. \]
Paul Erdös aurait déclaré que l’on devenait sénile dès lors que l’on commençait à oublier ses théorèmes. Arf !!! Me voilà embêté !
Mais bon, j’ai le moral et c’est ce qui compte. Portez-vous bien !
Je profite de ce fil pour donner de mes nouvelles. Sur le plan familial c’est le bonheur, ma fille Violette a décidé de grandir bien plus vite que je ne l’imaginais et elle est merveilleuse. J’ai déménagé dans un appartement plus grand et nous sommes heureux de ce confort nouveau. Sur le plan professionnel, mon nouveau métier de professeur me donne BEAUCOUP de fil à retordre. J’ai pensé à abandonner plusieurs fois, je l’aurais surement fait si je n’étais pas responsable de ma famille. Sur le plan mathématique, c’est le calme plat à mon grand regret, je ne trouve pas l’énergie ni le temps. En fait je m’y suis remis hier avec un peu d’intégration et j’ai pu constater à quel point tout s’oublie vite lorsque l’on ne pratique pas. Pour vous donner un exemple, je suis bloqué depuis hier (sans avoir trop forcé non plus) sur le calcul de \[\int_0^1 \frac{1}{(1+t^2)^2 }dt. \]
Paul Erdös aurait déclaré que l’on devenait sénile dès lors que l’on commençait à oublier ses théorèmes. Arf !!! Me voilà embêté !
Mais bon, j’ai le moral et c’est ce qui compte. Portez-vous bien !
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Réponses
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$$
\frac{1}{(1+t^2)^2} = \frac{1+t^2}{(1+t^2)^2} - \frac{t^2}{(1+t^2)^2}.
$$
Bonne journée
Comment calcules tu $\displaystyle \int_0^1 \frac{t^2}{(1+t^2)^2} dt$?
Je ne voyais pas qu'il fallait inclure un facteur $x$ dans la fonction dont on cherche une primitive. :-D
Un esclave logiciel donne directement une primitive. B-)-
Merci !
Si on fait le changement de variable $t=\tan x$ l'intégrale devient, sauf erreur, $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 x dx$ il ne reste plus qu'à linéariser l'intégrande.
PS:
$\displaystyle \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1$ donc: $\displaystyle\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}$
Pourquoi poser une question dont la réponse est sûrement quelque part écrite dans un coin du world wide web?
A l'heure d'internet est-il encore pertinent de poser des questions? :-D
Sauriez-vous m’aider afin que je puisse atteindre la clairière voisine ? Merci.
$\displaystyle \int_1^2 \frac{t-2}{\sqrt{t^2-1}}dt=\int_1^2 \frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt-2\int_1^2 \frac{1}{\sqrt{t^2-1}}dt$
La première se calcule facilement.
La deuxième il faut obtenir $\sqrt{1-t^2}$ au dénominateur donc on fait le changement de variable $u=1/t$
La suite c'est cousu de fil blanc.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Type 4, primitive de $R(t, \sqrt{at^2+bt+c})$ ou $R$ est une fraction rationnelle de deux variables. Allez B and B, au boulot, à tes bouquins. Surtout pas d'astuce, de la technique.
soit l'intégrale $I = \int_1^2\frac{t-2}{\sqrt{t^2 - 1}}dt$
tu poses t = chx (cosinus hyperbolique de x)
et donc dt = shx. dx et ton intégrale devient :
$I = \int_0^{ln(2+\sqrt{3})}\frac{chx - 2}{chx}.chx.dx = [shx - 2x]$
à calculer de 0 à $ln(2+\sqrt{3})$
soit $I = (2 + \sqrt{3})/2 - (2 - \sqrt{3})/2 - ln(2+\sqrt{3})$
$I = \sqrt{3} - ln(2+\sqrt{3})$
résultat négatif
cordialement
Petite erreur à la fin : $I=\sqrt 3-2\ln(2+\sqrt 3)$.