Vos émerveillements mathématiques

Je suis émerveillé par le fait qu'on construise les complexes aussi facilement en scindant un seul polynôme. Ce qui me touche plus encore c'est qu'on ne semble pas pouvoir se passer de l'analyse pour justifier ce théorème alors que la construction de C à partir de R est purement algébrique.

Le fait que la loi des grands nombres partant des axiomes de Kolmogorov soit si difficile à démontrer alors qu'elle semble porter en elle le principe des probabilités intuitives, mais que du coup les quelques axiomes d'espaces probabilisés suffisent à en arriver là est fort.

La géométrie en haute dimension avec les boules qui deviennent ratatinées concentrées sur leur bord de ce que je connais.

Et pour finir sur le chapitre des "Comment ça peut se démontrer si difficilement ?", il y a "si j'ai au moins autant de crayons dans la main droite que dans la gauche, et au moins autant de crayons dans la gauche que dans la droite, j'ai le même nombre de crayons dans les deux mains".

Si on empile des boîtes en forme de cube de côté $1/n$ avec $n=1,2,3,....$ la pile est de hauteur infinie mais le volume total de ces boîtes lui est fini.

(RLC : j'aurais tendance à dire que puisque la construction de R, elle, est analytique, il est "évident" qu'on va avoir besoin d'analyse pour prouver ce résultat, car c'est la seule porte d'entrée vers R qu'on ait)

J'ai déjà parlé des miens, mais je me répète (et j'en rajoute), parce que c'est un thème intéressant.

Comme toi et Poirot, les ordinaux - en fait, plus précisément, ce qui a déclenché l'émerveillement à ce niveau ce sont deux théorèmes: le théorème de Cantor sur P(E), et le fait que $E^2$ soit en bijection avec $E$ pour $E$ infini (comme en témoignent mes premiers messages sur le forum)

Le théorème de compacité en logique (c'est lié à ton théorème de complétude évidemment), et sa preuve par ultraproduits. Vraiment une preuve remarquable, qui m'a bien marqué.

Comme toi, la théorie des revêtements a été d'un plaisir infini à découvrir. Ce qui m'a particulièrement sidéré "à l'époque", c'est le fait qu'on en déduise si facilement un calcul de $\pi_1(\mathbb RP^2)$, alors qu'on a l'impression de n'avoir rien fait. C'est ça qui m'a vraiment lancé en topologie algébrique.

L'algèbre universelle, et spécifiquement le théorème HPS de Birkhoff (que j'ai expliqué à Homo Topi sur le forum): je sais que ce n'est "que" un résultat parmi d'autres dans la longue relation entre syntaxe et sémantique, mais je me souviens que je lisais un truc sur les anneaux, et l'auteur à un moment citait ce résultat, sans référence, sans source, sans preuve - j'ai tout de suite voulu en savoir plus et à force de recherche je suis tombé sur les bonnes réfs et j'ai vraiment été émerveillé par cette théorie et cette preuve. Avec ça, ma découverte des théories de Lawvere, qui sont aussi un sujet magnifique, et qui précisent justement cette interaction entre syntaxe et sémantique

Le résultat que les espaces topologiques compacts Hausdorff peuvent être vus comme des objets algébriques, ça aussi ça a été vraiment émerveillant.

L'introduction de $K[X]/(P)$ pour résoudre $P(x)= 0$, ça aussi ça m'a bluffé en sup, je n'en revenais pas (une idée si idiote, mais pourtant il fallait y penser)

Plus une intuition qu'un théorème précis: le fait que "isomorphe" veut dire "pareil". J'ai eu la chance de l'intégrer dès que mon prof de sup a prononcé les mots adéquats, et c'est une intuition que je trouve remarquable : elle définit la manière dont je fais et dont je pense aux maths.

Une définition, plutôt qu'un théorème: la définition d'adjonction, et le slogan de Kan "adjunctions are everywhere". J'aime particulièrement cet exemple parce que c'est un émerveillement que j'ai découvert seul; mais c'est une définition, encore une fois d'une incroyable simplicité, et qui pourtant renferme tellement de profondeur, et contient tellement d'exemples en un seul endroit unificateur. Enormément de résultats deviennent évidents une fois qu'on accepte cette définition et ses conséquences (que ce soit en algèbre, en topologie, ou en logique - d'ailleurs en logique c'est elle qui m'a permis de comprendre certaines intuitions sur les règles syntaxiques des logiques, et c'est avec ce prisme que je regarde beaucoup de définitions)

Toujours dans les définitions: la définition de $\Gamma$-espace : une définition tout à fait élémentaire qui encode une information si riche. Il m'a fallu 2-3 lectures de l'article original de Segal pour en comprendre la profondeur mais quand c'est arrivé, quelle beauté.

Bon je crois que je vais m'arrêter là, mais si je sondais ma mémoire je suis sûr que je trouverais d'autres émerveillements :-D la liste risquerait cependant d'être trop longue

D’un niveau plus rudimentaire :
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$.
J’ai su ça en terminale et était très intrigué d’une preuve même si je n’avais aucune connaissance du langage mathématique et de ce qu’était précisément une vraie preuve.
Les tentatives « d’explications vulgarisées » ne m’ont pas convaincu, il y en
a eu une en vidéo en anglais sur ce forum, via YouTube.

Et surtout cette stupéfaction que $\pi$ est lié à des entiers.
D’autres sommes d’ailleurs avec l’alternance des entiers impairs si je ne me trompe.

Les probas qui, par exemple avec Monte Carlo, permettent d’approcher des aires.
Et ces sondages et intervalles de confiances assez fiables.

Je réponds un peu à côté de la demande de Calli, mais il se trouve que j'ai récemment indiqué à mon collègue Ognian Trifonov que le résultat qu'il a démontré en collaboration avec Michael Filaseta [FT92] sur les distribution des entiers $2$-libres, appelés aussi entiers sans facteur carré, était certainement l'un des purs joyaux mathématiques qu'il m'ait été donné de lire.

Un sous-titre à leur article pourrait être : "David contre Goliath ou la revanche des méthodes élémentaires sur la sophistication".

Référence.

[FT92] M. Filaseta & O. Trifonov, On gaps between squarefree numbers. II, J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 45 (1992), 215-221.

Bonjour

depuis toujours je suis fasciné par la présence des nombres complexes en algèbre

je suis émerveillé par les très riches applications des vecteurs en géométrie et en mécanique

et je suis très intéressé par l'usage des matrices en recherche opérationnelle et d'une façon générale en économie

cordialement

Merci Calli pour cette initiative.

Moi c'est le théorème de Ramsey en dimension infinie (j'aime bien colorier :-)). Cette ordre dans des structures monstrueuses, je trouve cela jolie.
Au niveau M2 de jolies choses avec les systèmes de racines et les données radicielles, cela donne de jolies figures et ce n'est pas encore trop abstait.

Les nombres surréels de Conway sont fascinants, je trouve.
Jean-Louis.

C'est pas $\mathbf P^n(\mathbf K)$ privé d'un de ses hyperplans projectifs plutôt ? ;-)

Deux mots aussi sur Teichmüller-Tukey. Il s'agit techniquement de l'énoncé 2 ci-dessous (et ma remarque portait sur le cas dénombrable).

Etant donné un ensemble $E$, une partie $\mathcal F$ de $\mathcal P(E)$ est dite de caractère fini si pour tout $X\in \mathcal P(E)$, $X\in \mathcal F$ si et seulement si tout sous-ensemble fini de $X$ appartient à $\mathcal F$.

Parmi les parties de caractère fini célèbres citons:
-l'ensemble des parties libres d'un espace vectoriel (le lemme en question entraîne l'existence de bases)
-l'ensemble des parties algébriquement libres dans une extension de corps
-l'ensemble des ensembles d'énoncés non contradictoires dans un système logique formel quelconque (les preuves étant des objets syntaxiques, elles ne font en général intervenir qu'un nombre fini d'axiomes)
-l'ensemble des ensembles d'énoncés ayant un modèle (théorème de compacité, lié à l'énoncé précédent par le théorème de complétude).

Mantenant, citons les fameux théorèmes:

TT1) Pour tout ensemble dénombrable $E$ et toute partie non vide $\mathcal F$ de caractère fini, il existe un élément de $\mathcal F$ qui est maximal pour l'inclusion.
TT2) Pour tout ensemble $E$ et toute partie non vide $\mathcal F$ de caractère fini, il existe un élément de $\mathcal F$ qui est maximal pour l'inclusion.

Alors TT2 est équivalent à l'axiome du choix (via le lemme de Zorn comme on peut s'en douter), cependant:
TT1 est un théorème intuitionniste (et ne requiert pas l'axiome du choix).

Comme quoi passer du dénombrable au non dénombrable peut entraîner des différences considérables.

Pour montrer (intuitionnistiquement) TT1, soit $f:\N\to E$ surjective; considérer $X_0:=\emptyset$ et pour tout $n$, $X_{n+1}:=X_n \cup \left \{ z\in E\mid z = f(n+1) \Rightarrow X_n\cup \{z\} \in \mathcal F\right \}$ et $X:=\bigcup_{n\in \N} X_n$.

Les résultats de Ramanujan :

Un livre qui m’a émerveillé est « Three pearls of number theory ». Le chapitre III particulièrement « une solution élémentaire du problème de Waring ».
Une suite $A$ est une base d’ordre $k$ de la suite des entiers naturels si la somme de $k$ suites identiques $A$ contient tous les entiers naturels.
Par exemple, le théorème de Lagrange peut-être énoncé sous la forme: la suite des carrés parfaits $0, 1, 4, 9, 16, 25,…$ est une base d’ordre $4$.
Le problème de Waring: pour tout entier naturel $n$, la suite
\begin{equation}
(A_n): \: \: \: \: \: \: \: 0, 1^n, 2^n,…, k^n, …
\end{equation}
est une base de la suite des entiers naturels dont l’ordre dépend de $n$.

Poincaré s’est intéressé au problème. Hilbert et Vinogradov en ont proposé des démonstrations compliquées utilisant l’analyse complexe.
L’ouvrage présente la démonstration (1942) d’un universitaire russe Y.V.Linnik: beaucoup plus accessible.

Enfin, plus modestement, j’étais très intimidé au lycée par les définitions de limites et de convergence à la Weierstrass avec les $\epsilon$.
Il suffit de les pratiquer un peu pour voir qu’elles sont aussi naturelles que le fait de respirer !
Et donc, quand j’ai compris la différence subtile entre convergence simple et convergence uniforme d’une suite de fonctions: j’ai été émerveillé… par mes capacités mathématiques insoupçonnées !
…

Oui Corto, ces résultats font partie de ce que l'on appelle la théorie additive des nombres, qui a souvent pour but de montrer que certains ensembles particuliers forment une base des entiers. Par exemple la conjecture de Goldbach prédit que l'ensemble des nombres premiers est une base d'ordre $3$.

Les théorèmes de type Korovkin ont même fait émerger un nouveau concept en analyse fonctionnelle : ce que l'on appelle maintenant l'ombre d'un opérateur (shadow of an operator ou Korovkin closure).
Pour des généralisations des théorèmes précédemment cités :
https://pdf.sciencedirectassets.com/272427/1-s2.0-S0021904500X03425/1-s2.0-0021904575900271/main.pdf?X-Amz-Security-Token=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&X-Amz-Algorithm=AWS4-HMAC-SHA256&X-Amz-Date=20201218T203545Z&X-Amz-SignedHeaders=host&X-Amz-Expires=300&X-Amz-Credential=ASIAQ3PHCVTYYUBOTSOC/20201218/us-east-1/s3/aws4_request&X-Amz-Signature=a407c21df1943a4b9f350407b2f553814a890de1b7b26f6526586e5e680ec0e7&hash=1f40f13a16e109f8216d46916f50b9f0bd8558822675a98647c1deaf92c4f30c&host=68042c943591013ac2b2430a89b270f6af2c76d8dfd086a07176afe7c76c2c61&pii=0021904575900271&tid=spdf-1c416277-1eb1-4dd6-a3cf-4234f3cf1c70&sid=ef59275f5209794ae78b6a8-51d55f581eb1gxrqb&type=client
https://msp.org/pjm/1974/53-1/pjm-v53-n1-p02-s.pdf

Toujours à propos de Korovkin, en accès libre, on a Choquet.

Cordialement, j__j

Mon théorème préféré de quand j'étais en licence : soit $X \subset \mathbb R^n$ une variété algébrique et $x_0 \in X$. Soit $\varepsilon > 0 $ petit, $\overline{B}_{\varepsilon}(x_0) $ la boule fermée de rayon $\varepsilon$ autour de $x_0$, et $L = X \cap \partial \overline{B}_{\varepsilon}(x_0)$. Finalement, pour un espace topologique $Y$ le cône est l'ensemble $([0,1] \times Y ) / \sim$ où $\sim$ est la relation d'équivalence $0 \times y \sim 0 \times y'$ pour tout $y,y' \in Y$.

Alors il existe un homéomorphisme $$\overline{B}_{\varepsilon}(x_0) \cap X \cong \mathrm{Cone}(L)$$

Pour moi, ce théorème est extrêmement impressionnant car il dit que si on connait juste $X$ au bord, alors on le connait partout topologiquement ! Pour des applications de ce théorème magnifique, je recommande le livre "Singular points of complex hypersurfaces" par Milnor.

Ce résultat me fait un peu penser à la formule de Cauchy en analyse complexe, qui dit que si on connait une fonction holomorphe sur le bord d'un disque, alors on peut retrouver la valeur de $f$ à l'intérieur du disque en calculant $$f(w) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(z) \mathrm{d}z}{z-w}$$

Je dirai que le principe même des fonction génératrices à quelque chose qui m'a émerveillé. De plus, découvrir la diversité des types de nombres qui surviennent dans les valeurs remarquables de la fonction zêta de Riemann m'a aussi emerveillé.

Avoue que ça fait bizarre d'énoncer ce théorème comme : « tout corps non commutatif fini est commutatif »...
(OK, je sais qu'on pourrait dire « toute algèbre à division finie est commutative. »)

FDP a écrit:

il me semble que cela faisait l'objet d'une critique dans un rapport du concours de l'agrégation

C'est pourtant la démonstration de ce théorème (tout corps fini est commutatif) que j'avais présentée lors de mon oral d'algèbre à l'agrégation en 1995. Cela n'avait pas dû choquer le jury puisque j'avais obtenu 17/20....

FDP a écrit:

à ne pas confondre avec totologie qui est la science qui étudie les histoires de Toto

L' usine Carambar a cessé sa grève ????

RAMON a écrit:

C'est pourtant la démonstration de ce théorème (tout corps fini est commutatif) que j'avais présentée lors de mon oral d'algèbre à l'agrégation en 1995. Cela n'avait pas dû choquer le jury puisque j'avais obtenu 17/20....

Je ne sais pas ce que tu leur as dit à ces braves gens et je doute que tu te souviennes au mot près ce que toi-même tu as dit. Dans un rapport de l'agrégation interne il est dit (je n'ai pas le temps immédiatement de retrouver ce rapport que je dois avoir dans mes archives ou que j'ai lu en ligne, je ne sais plus) en substance, qu'il vaut mieux utiliser la dénomination "anneau à division fini" que "corps fini" dans ce contexte. Dès que j'ai le temps je me mets à la recherche du document en question.

PS:
Je pense que c'est dans l'un des rapports des années 1994,1995,1996 (plus probablement 1995).

FDP a écrit:

Je ne sais pas ce que tu leur as dit à ces braves gens

Je ne mets pas ta parole en doute. J'avais écrit mon plan au tableau (conformément à l'usage en 1995) et mentionné "Théorème de Wedderburn: Tout corps fini est commutatif".....Cela n'avait soulevé aucun étonnement du jury.

En maîtrise, un de mes profs (mathématicien de renommée mondiale) parlait de "corps gauches".

FDP a écrit:

Je pense que c'est dans l'un des rapports des années 1994,1995,1996 (plus probablement 1995).

En 1995, il n'y a pas eu de rapport du jury de l'agrégation externe.

Y a beaucoup de sujets dont je pourrais parler dans ce fil.

1) Le théorème des unités de Dirichlet. C'est toujours qqch qui m'a vraiment fasciné, comme on peut capturer les unités d'un corps de nombre à partir du simplement plongement logarithmique, et plus tard le lien avec des choses plus sophistiqués comme le regulateur etc...

2) Le théorème de Whitney optimal qui donne la dimension minimale d'un espace de plongement pour une variétés compacte en fonction de la décomposition dyadique de la dimension

3) L'idée de Weil d'introduire les fonctions caractéristiques pour capturer l'arithmétique des variétés et le lien incroyable avec la géométrie.

4) La formule analytique du nombre de classes.

Globalement l'interplay entre propriété arithmétiques, géométriques et analytiques est toujours ce qui me fascine en maths. Les liens profonds entre réseaux, corps quadratiques, courbes elliptiques.

Tout ce que ça m'inspire c'est qu'un morphisme d'anneaux entre deux corps est automatiquement un morphisme de corps, au sens où l'image de l'inverse d'un élément non nul est l'inverse de l'image de cet élément.

Je pense que la mention porte surtout sur le terme "de corps" que "isomorphisme".