Un dénombrement
Bonjour, je dois démontrer que : $$\sum_{p=0}^n (-1)^p C^p_n p^{n-1}=0.$$ (Extrait d'un des deux écrits de l'agreg interne 2013).
Quelqu'un peut-il me donner une piste ?
Cordialement.
Quelqu'un peut-il me donner une piste ?
Cordialement.
Réponses
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À défaut d'avoir une idée lumineuse on peut toujours tenter une récurrence sur $n$. Je n'ai pas essayé mais la stratégie semble raisonnable. Je n'ai pas vu mieux mais je n'ai pas réfléchi très longtemps.
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On peut considérer le développement limité pour $t\to 0$ de $(1-e^t)^n$.
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La somme à calculer est le coefficient en $x^n$ de $(1+x)^n f_n(x)$ où $f_n(x) = \displaystyle \sum_{p=0}^{+\infty} (-1)^p p^{n-1}x^n$.
Or, on peut montrer par récurrence que $(1+x)^nf_n(x)$ est un polynôme de degré $n-1$. (pour passer de $n$ à $n+1$, remarquer que $f_{n+1}(x) = xf_n '(x)$). D'où le résultat. -
Bonjour,
Pour tout $k\le n-1$, dériver $k$ fois $f(x)=(x - 1)^n$ par la pensée et constater que $f^{(k)}(0)=0$.
Astuce de taupin, aussi vieille que la taupe;-) -
Ou bien : différences finies.
Ou bien : formule d'inversion de Désiré André.
Lien avec les nombres de Stirling. -
Mon indication initiale étant assez allusive, je détaille un peu : en posant $S_k = \sum_{p=0}^n (-1)^p C_n^p p^k$, la formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ s'écrit
\[
(1-e^{t})^n = \sum_{k=0}^n \frac{S_k}{k!} t^k + o(t^n),\quad t \to 0.
\]
Comme par ailleurs $(1-e^t)^n \sim (-t)^n$. On en déduit que $S_k = \begin{cases}0 & \text{si } 0 \leq k \leq n-1\\
(-1)^n n! & \text{si } k = n\end{cases}$.
Remarque : ceux qui n'aiment pas l'analyse peuvent considérer à la place la série de Taylor formelle. -
Merci beaucoup !
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Bon en fait, j'ai essayé de reprendre chacune de vos suggestions, et je n'y parviens pas.
@Siméon : en partant d'un développement limité j'obtiens $$(1-e^t)^n=\big(-t-\frac{t^2}{2}-\cdots -\frac{t^n}{n}+o(t^n)\big)^n$$ et je ne parviens pas à en déduire ta formule $$(1-e^{t})^n = \sum_{k=0}^n \frac{S_k}{k!} t^k + o(t^n),\quad t \to 0.$$
@Guego : j'écris $$(1+x)^nf_n(x)=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k \sum_{p=0}^{+\infty} (-1)^p p^{n-1} x^n$$ mais je ne parviens pas à en déduire que j'ai bien $\sum_{p=0}^n (-1)^p C^p_n p^{n-1}$ qui est le coefficient en $x^n$ de cela.
@zephir : pourquoi a-t-on alors $f^{(k)}(0)=0$, plus en détails ?
Merci à vous. -
@TriAdmissible :
Pour la méthode de Siméon, tu pars dans le mauvais sens. Commence par appliquer la formule du binôme, puis effectue un DL des exponentielles.
Ensuite, par unicité des coeffs d'un DL tu en déduis le résultat annoncé en utilisant le fait que 1-e^t est équivalent à -t en 0.
À mon avis, c'est la méthode la plus simple...
Pour la méthode de Zephir, c'est lui qui s'est trompé. Je pense qu'il voulait dire $f^{(k)}(1)=0$ pour $k\in [0,n-1]$... mais je ne sais pas exactement où il comptait te faire aller avec ça.
Enfin, pour la méthode de Guego, là encore il y a un problème car la série qu'il évoque est grossièrement divergente ! -
Qui se soucie de convergence si le calcul marche formellement ?
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Certes, on peut négliger la convergence et faire les calculs formellement...
Mais en fait, le problème vient surtout du fait qu'il y a une coquille dans ce que Guego voulait dire.
Il faut en fait considérer $f_n:x\mapsto \sum\limits_{p=0}^{+\infty}(-1)^p p^{n-1}x^p$ et non $x^n$ comme il était écrit.
Dans ce cas, il y a convergence sur $\left]-1,1\right[$... et tout se passe bien. -
On doit aussi pouvoir montrer (par exemple par la formule du crible, et à un facteur (-1)^n près) que le nombre évoqué par TriAdmissible est le nombre de surjections d'un ensemble à n-1 éléments vers un ensemble à n éléments.
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D'ailleurs, c'est la méthode de Siméon que prônait le sujet par la question précédente.
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Voir par exemple le corrigé de l'épreuve donné par ev ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,811208,1015681#msg-1015681
Sinon pour éclaircir la méthode de zephir, on a pour $0\le k\le n-1$, $f^{(k)}(1)=0$ soit $\sum\limits_{p=0}^n C_n^p (-1)^{n-p} p(p-1)\cdots(p-k+1)=0$. Et comme la famille $\bigl(1,X,X(X-1),\ldots,X(X-1)\cdots(X-(n-1)+1)\bigr)$ constitue une base de $\R_{n-1}[X]$, on obtient le résultat. -
Rouletabille écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1017583,1017775#msg-1017775
[Inutile de recopier un message présent sur le forum, même de 3ans en arrière. Un lien suffit. AD]
Que voulez-vous dire par formule d'inversion de Désiré André ? -
Visiblement, c'est connu comme formule d'inversion de Pascal sur wikipedia.
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Comment l'appliquez vous ici ? (a(n) = , b(n) = )
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Bonjour!
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