antithèse d'un X-set clos par union

en vue d'essayer de démontrer (***) dans un cas particulier que je vais évoquer, je vais faire appel à un lemme d'hérédité amusant, je n'ai pas réussi à montrer le résultat voulu qui est :


Si pour tout $F$ Clos sur $X$ et tout minimum non vide $m\in F$ il existe $x\in X$ tel que $m\cup\left\{x\right\}\in F$ alors aucun élément de $F$ n'est inclus dans $Anti(F)$.


....mais j'ai prouvé le lemme dont je croyais avoir besoin, ainsi je le laisse ici.



D'abord une définition (de "creux singulier")
A l'avenir $F$ désignera toujours un ensemble $X$-clos, ne contenant pas $\emptyset$
et je noterai $a\cup\left\{b\right\}$ de la façon suivante $a+b$ ainsi que $a\setminus\left\{b\right\}$ sera noté $a-b$

soit $x\in X$ et $f\in F$, on dit que $x$ est un creux singulier pour $f$ (ou alternativement $f$ a un creux singulier en $x$) si et seulement si $f+x\notin F$

Si $x\in X$ n'a de creux singulier pour aucun $f\in F$ on dira que c'est un point $F$-plein (ou une "colonne pleine de $F$)
Si $f\in F$ n'a de creux singulier en aucun point de $X$ on dira que c'est une partie $F$-pleine (ou une "ligne" pleine de $F$)
Si $f\in F$ a au moins un creux non singulier on dira que c'est une ligne raisonnable dans $F$
on notera $Sing(x,F)$ l'ensemble des $f\in F$ tels que $f$ est creux en $x$.
On notera aussi $FULL(x,F)$ l'ensemble (clos sur $X$ !) $F\setminus Sing(x,F) \cup \left\{s+x|s\in Sing(x,F)\right\}$ obtenu en "remplissant" les creux singulier en $x$ (et seulement ceux là) : il est immédiat que l'on conserve le cardinal et le caractère clos sur $X$

Lemme minimum raisonnable

Si tout minimum pour l'inclusion de $F$ est raisonnable alors il en est de même pour $FULL(x,F)$ quelque soit $x\in F$

nous démontrerons ce lemme à la fin, en attendant et en l'admettant,
démontrons par récurrence sur le nombre de colonnes non pleines de $F$ clos sur $X$ que si tout minimum de $F$ est raisonnable alors $Anti(F)$ est un minorant de $F$.


démonstration du lemme minimum raisonnable
Supposons que tout minimum de $F$ soit raisonnable mais pas un minimum $m'\in F'=FULL(x,F)$
Tous les élements de $F'$ qui ne contiennent pas $x$ sont raisonnables, ($x$ n'est pas un creux singulier)
Donc $x\in m'$ (cas1)
Les éléments de $F'$ qui s'ecrivent $d+x$ où $x\notin d\in F$ ne sont pas des minimums(cas 2)
Si $m'\in F$ et $x\in m'$, alors $m'$ est aussi minimum dans $F$

En effet supposons que $a\subset m'$, avec $m\ne a\in F$, par hypothèse de minimalité dans $F'$ de $m'$ on a $a+x$ non inclus dans $m'$, ce qui est absurde.
$m'$ contient donc dans $F$ un creux non $F$-singulier en disons $y\ne x$ c'est à dire que $m'-y\in F$ et comme on $x\in m'-y$ on a encore $m'-y\in F'$ et $m'$ est raisonnable.(cas 3)

Il reste a étudier le cas où $m=m'-x\in F$ (avec $m\notin F'$ car $m\in F'$ et $x\notin m$ est le cas 1)
$m$ est un minimum dans $F$ (même raisonnement que pour le cas 3)
Par hypothèse de raisonnabilité sur les minimum de $F$, il existe $y\in X$ tel que $m-y\in F$ et $y\ne x$. Pour tout $f\in F$ on a $f+x\in FULL(x,F)$ et donc $m'-y\in F'$ et $y$ n'est pas un creux singulier pour $m'$, qui est donc raisonnable.
cqfd