La super factorielle ?

Ça ne serait pas $n!^2$ ta super factorielle ?

Attention, encore une imprécision: $A\iff B\iff C$ peut signifier, au choix:

1) $(A\iff $ et $(B\iff C)$ (pour bcp de matheux)

2) $(A\iff \iff C$ (qui est équivalent à $A\iff (B\iff C)$.

Ton post ne précise pas lequel des deux tu prends et ils sont loin d'être équivalents.

S'il vous plait,est ce qu'il serait possible de calculer la combinaison d'un nombre negatif ou d'un nombre deccimal dans un nombre entier naturel.
Par exemple:1.La combinaison de 0,25 dans 2 ?
2.La Combinaison de -2 dans 4 ?

C'est un camarade qui me le dit,je lui prouve le contraire,mais veut pas entendre raison....

Donc en fait,la on ne parle plus de combinaison n'est ce pas?
C'est juste une fonction polynomiale...

@Jer : tu voulais sans doute dire $k \geqslant a+1$ dans la dernière phrase de ton précédent message, non ?

En matière de coefficient binomial, la formule préférée des élèves est : $(_{p}^{n})=\frac{n!}{p!(n-p)!}$, qui n'est pas sans intérêt, mais qui n'est valable que pour $n$ et $p$ entiers tels que : $0\leq p\leq n$.
La vraie bonne formule est : $(_{p}^{n})=\frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}$, qui, elle, est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $p \in \mathbb{N}$, car si $p>n$ elle donne 0.
Trop de professeurs sont encore frileux à ce sujet et n'osent énoncer que $(_{p}^{n})=0$ si $p>n$ et pourtant quoi de plus naturel ? Pour $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$ on désigne par $(_{p}^{n})$ le nombre de $p$-parties d'un $n$-ensemble, et si $p>n$, de telles $p$-parties, il n'y en a pas, et quand il n'y a pas de quelque chose, c'est qu'il y en a $0$.
Cette remarque n'est pas une convention mais une observation de bon sens. Ainsi, le triangle de Pascal est un tableau carré dont une petite moitié des cases sont nulles.
Avec cette remarque, l'identité de convolution de Vandermonde : $ \displaystyle (_{~~~p}^{m+n})=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}(_{k}^{m})(_{p-k}^{~~n})$ est vraie quels que soient $m \in \mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}$. Alors que si vous ne définissez $(_{p}^{n})$ que pour $0\leq p\leq n$, bonjour pour l'énonciation et la démonstration de cette identité.
On continue tout à l'heure...
F. Ch.

Je continue dans la foulée de mon précédent message.
La formule : $(_{p}^{n})=\frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}$, avec bien sûr $(_{0}^{n})=1$, reste définie lorsque $n$ n'est plus un entier naturel, mais est un réel ou même un complexe quelconque. Pour $x \in \mathbb{R}$ (ou même $x \in \mathbb{C}$), et $p \in \mathbb{N}$, on pose : $(_{p}^{x})=\frac{x(x-1)...(x-p+1)}{p!}$, avec bien sûr $(_{0}^{x})=1$. C'est un coefficient binomial généralisé, qui bien sûr ne dénombre rien, c'est juste une notation qui satisfait à certaines propriétés et qui se révèle utile.

Il en est de même pour la généralisation de l'exposant. Si vous écrivez $2^5$, vous savez que c'est le produit de $5$ facteurs égaux à $2$. Mais si vous écrivez $2^{-4}$, $2^{\frac{5}{6}}$ ou $2^{\sqrt{3}}$, vous n'avez pas un certain nombre de facteurs égaux à $2$, ça ne vous empêche pas de désigner ces réels par : " $2$ puissance quelque chose". De même si vous désignez oralement le nombre $(_{~~4}^{-\frac{3}{5}})$ par "4 parmi $-\frac{3}{5}$" vous saurez bien qu'il ne s'agit plus d'un nombre de parties d'un ensemble fini, ce sera juste pour mettre un mot sur un nombre, à l'oral.

Ce coefficient binomial généralisé est très intéressant, utile et important, en dépit de sa simplicité. D'abord, comme l'a noté Jer anonyme, il permet d'exprimer le développement en série entière, ou bien le développement limité de $(1+x)^{\alpha }$ par une formule qui est celle du binôme, généralisé et adapté. Ensuite, il vérifie plusieurs propriétés du coefficient binomial proprement dit. Par exemple la relation de récurrence de Pascal : $(_{p}^{x})=(_{~~p}^{x-1})+(_{p-1}^{x-1})$, pour $x \in \mathbb{R}$ ( ou $x \in \mathbb{C}$), et $p \in \mathbb{N}^*$, ou bien l'identité de convolution de Vandermonde : $\displaystyle (_{~~~p}^{x+y})=\underset{k=0}{\overset{p}{\sum }}(_{k}^{x})(_{p-k}^{~~y})$ pour $x \in \mathbb{R}$ , $y \in \mathbb{R}$ , $p \in \mathbb{N}$ ( ou bien sûr $x \in \mathbb{C}$, etc.).

Il serait opportun que les professeurs se décident à utiliser cette notation. Ceux qui s'y refusent donnent généralement comme argument que les élèves ne comprendraient pas, mais je me suis souvent demandé si ce n'est pas plutôt eux qui ont peur d'une notation nouvelle pour eux...

Bonne soirée.
F. Ch.

Les coefficients binomiaux généralisés forment une base de l'anneau des polynômes à valeurs entières sur les entiers, en tant que $\Z$-module libre.

(Edit : c'est en gros ce qu'a déjà écrit Foys)