Loto.
Bonjour à toutes et tous.
Je ne suis pas un habitué du forum, donc j'espère que ma question n'est pas hors sujet.
Je considère un loto à 22 boules. Il y a $C_{22}^3=1540$ combinaisons de 3 numéros.
Je fais des grilles de 6 numéros. Chacune contient $C_6^3=20$ combinaisons de 3 numéros.
Je souhaite construire des grilles qui contiennent les 1540 combinaisons de 3 numéros sans répétition.
Comme $20$ divise $1540$, ce n'est pas trivialement impossible.
Comme $1540/20=77$, il y a exactement 77 grilles.
Je sais que les 77 grilles existent mais je ne sais pas le justifier autrement qu'en les construisant.
Question : Comment justifier leur existence ?
Merci Hédi.
Je ne suis pas un habitué du forum, donc j'espère que ma question n'est pas hors sujet.
Je considère un loto à 22 boules. Il y a $C_{22}^3=1540$ combinaisons de 3 numéros.
Je fais des grilles de 6 numéros. Chacune contient $C_6^3=20$ combinaisons de 3 numéros.
Je souhaite construire des grilles qui contiennent les 1540 combinaisons de 3 numéros sans répétition.
Comme $20$ divise $1540$, ce n'est pas trivialement impossible.
Comme $1540/20=77$, il y a exactement 77 grilles.
Je sais que les 77 grilles existent mais je ne sais pas le justifier autrement qu'en les construisant.
Question : Comment justifier leur existence ?
Merci Hédi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
L'existence est évidente
Bonne chance
Le problème que tu proposes est intéressant et se rapproche d'un problème bien connu dans le milieu du loto, lotofoot, etc..
Il s'agit des systèmes réduits ou systèmes réducteurs (cover ou wheel systems en anglais).
Ces systèmes sont une extension du problème que tu proposes.
Prenons le cas du loto national (tirage de 6 boules sur 49 numéro) :
1/ On choisi $P$ numéros parmi les 49.
2/ On fait le pari que les 6 bons numéros sont dans les $P$ numéros qu'on a choisi.
Question : Quel est le nombre minimal de grilles à jouer pour être certain d'avoir au moins une grille gagnante avec $R$ bon résultats ?
==> On appelle généralement un tel système : $P / 6 / R$
Chose intéressante et qui n'est pas nécessairement très intuitive : il n'est pas nécessaire que le système contienne tous les sous-ensembles de $R$ éléments parmi les $P$ numéros !
Il existe beaucoup de sites proposant de tels systèmes et décrivant des algorithmes pour les calculer.
Il y a quelques années le record du monde pour le système $49/6/3$ était un système de $163$ grilles.
Pour info ce système représente le nombre de grille minimale à jouer pour être certain d'avoir un ticket gagnant à 3 bons numéros quel que soit le tirage.
Le calcul de ces systèmes est un problème NP-Complet et se rapproche du problème de couverture par ensembles.
Il n'existe aujourd'hui aucun algorithme connu pour calculer un système optimal.
En effet, les systèmes répertoriés aujourd'hui sont des solutions approximatives du problème.
Ma question n'est pas d'être sûr de gagner avec au moins 3 numéros mais vraiment de fabriquer des grilles qui contiennent toutes les combinaisons de 3 numéros.
Je sais que c'est possible avec 77 grilles mais je n'ai pas d'argument.
Merci Hédi.
je ne sais pas d'où tu sais (d'ailleurs tu devrais nous le dire) qu'avec seulement $77$ grilles de $6$ numéros parmi $22$ numéros on peut obtenir toutes les combinaisons de $3$ numéros parmi ces $22$. Je tiens ce que tu dis pour vrai, mais ça me paraît exceptionnel au sens qu'il me semble que si on prend d'autres nombres que $3, 6, 22$ il ne suffit pas de l'équivalent de tes $77$ grilles pour obtenir toutes les combinaisons voulues.
Qu'il faille au moins $77$ grilles est clair, comme tu l'expliques. Qu'il suffise, c'est grave un coup de bol!
Mon idée floue est que ça a peut-être un rapport avec la coincidence que $C_{22}^3=C_{56}^2$ (je viens de l'apprendre suite au fil de kolotoko sur la conjecture de Singmaster) et le fait, plus connu, que $56+22=77+1$.
Cordialement
Paul
Je tiens l'info des 77 grilles d'un vieux "jeu et stratégie".
Le but était justement de trouver le nombre minimal de grille pour gagner au moins avec 3 numéros et la solution commençait par cette "affirmation" et les grilles correspondantes.
Je n'ai jamais trouvé d'argument théorique et cela m'a toujours intrigué. Et avec le recul, l'idée même que cela soit possible me surprend aussi.
Merci Hédi
Je suis un élève de MPSI et en faisant des recherches sur le thème de hasards et contraintes, j'ai trouvé un site me disant qu'il est possible de répartir les 49 numéros d'un loto traditionnel sous forme de triplet. J'entends par là que pour 6 numéros, il existe 2 triplets possible 1*2*3 et 4*5*6.
Apparemment, pour que cette répartition soit plus simple il faut répartir ces numéros en 3 sous-ensembles : 22 numéros, 22 numéros et 5 numéros. Pour le 1er sous ensemble, il y a 3 parmi 22 possibilités (c'est-à-dire 1540).
Je souhaiterai répartir ces 1540 combinaisons de 3 numéros sous forme de grille de 6 numéros mais sans répétition. En sachant que 3 parmi 6 est égale à 20 et que 1540/20=77 il y a donc 77 grilles à construire. Cependant, je ne sais pas comment montrer l'existence de cette solution sans construire ces grilles à la main ou sur un quelconque langage de programmation.
Pourriez-vous m'aider à justifier que cette solution est bien exacte.
Merci d'avance.
[Salut Nicolas,
Je fusionne ces deux discussions qui portent sur le même sujet. jacquot ]