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Formule du pion

Envoyé par grego 
Formule du pion
il y a quatre années
Bonjour
Je recherche une démonstration ensembliste de la formule du pion qui n'utilise pas la formule avec les factorielles car je voudrais justement me servir de la formule du pion pour retrouver l'expression.
Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: formule du pion
il y a quatre années
Etant donné un ensemble $E$ à $n$ éléments et étant donné $k$ tel que $0<k\leq n$, compter de deux manières différentes les couples $(X,x)$ où $X$ est une partie de $E$ à $k$ éléments et $x$ un élément de $X$.
Re: formule du pion
il y a quatre années
D'accord merci
Re: formule du pion
il y a quatre années
avatar
C'est quoi un pion dans ce contexte ?
Re: formule du pion
il y a quatre années
Aucune idée de qui est le pion.
Re: formule du pion
il y a neuf mois
Clique ici sur "dénombrement" :
http://www.mathoscope.ouvaton.org/mathoscope_xyz/Prepa/distributeur.php?mot=denombrement_permut
J'ai appelé ça la formule de la compote.
En gros, si tu veux transposer, ce qu'ils appellent un "pion", moi j'appelle ça une "pomme" mais c'est pareil.

–––
Vincent Douce Mathoscope
[bit.ly]
[tsunaminuage.wordpress.com]
Re: Formule du pion
il y a sept mois
Bonjour

On choisit k éléments parmi n, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit 1 élément (x) parmi k, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^kC_k^1$ possibilités.

Autre méthode :
On choisit un x parmi n éléments, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
Puis on choisit k-1 éléments parmi n-1, indépendamment de l'ordre et sans répétition. C'est donc une combinaison.
On obtient $C_n^1C_{n-1}^{k-1}$ possibilités.

Pourquoi ces quantités sont-elles égales ?

$C_n^kC_k^1=k\frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$
$C_n^1C_{n-1}^{k-1} = n\frac{(n-1!)}{(k-1)!(n-1-k+1)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

CQFD.
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