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Calcul exact avec les parties entières

Envoyé par pourexemple 
Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Soit $k,\,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$\small E\Big(\frac{(n-1)^2}{n}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{(n-1)^k}{n}\Big)=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E\Big(\frac{k+1}{2}\Big)-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Bonsoir,

Selon que $l$ est pair ou impair, la partie fractionnaire de $\frac{(n-1)^l}{n}$ est $\frac{1}{n}$ ou $1-\frac{1}{n}$; il s'en suit que la somme des parties entières de $\frac{(n-1)^l}{n}$ et de $\frac{(n-1)^{l+1}}{n}$ égale $\frac{(n-1)^l}{n} + \frac{(n-1)^{l+1}}{n}-1$, soit $(n-1)^l-1$. La somme sur $l$ de cette égalité donne ta formule... qui est un peu artificiellement close.smiling smiley

Merci pour tes questions.

Cordialement
Paul
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Bravo.

En voici un, un peu plus difficile :

énoncé 113 :
Soit $p$ un nombre premier et $b$ un élément primitif dans $(\Z/p\Z)^*$.
Montrer que :

$$E(\frac{b}{p})+...+E(\frac{b^{p-1}}{p})=\frac{b^p-b}{p(b-1)}-\frac{(p-1)}{2}$$


@Depasse : merci pour les encouragements.

Bonne journée.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Il doit y avoir une erreur puisque le premier membre est inférieur à la deuxième fraction du second membre.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
@Jandri : oui merci, j'ai modifié l'énoncé.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Bonjour,

$b$ étant primitif, l'ensemble des parties fractionnaires des $b^i/p$ est l'ensemble des $i/p$; leur somme est $(p-1)/2$.
La somme des $b^i/p$ est $\frac{b^
p-b}{p(b-1)}$.
Comme un nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire, on obtient ta formule.
Cordialement
Paul
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Bravo.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
énoncé 114 :
Montrer que, pour tout $n\in \N^*$ $$
1+E\big((\sqrt{2}+1)\big)+\cdots+E\big((\sqrt{2}+1)^n\big)=E\Big(\frac{(\sqrt{2}+1)^{n+1}-1}{\sqrt{2}}\Big)-E\Big(\frac{n}{2}\Big) $$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
énoncé 115 :
Montrer que pour tout $a\in \N^*$ avec $a=a_0+\cdots+a_k2^k$ en base 2 : $$ E\Big(\frac{a}{2}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{a}{2^{k}}\Big)=a-a_0-\cdots-a_k$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Soient $p,q$ deux entiers premiers entre eux, avec r entier tel que : $S=(q \mod p)+(2\times q \mod p)+...(r\times q \mod p)\leq p-1$ , montrer que :
$$S=\frac{qr(r+1)}{2}-p \times E(\frac{qr(r+1)}{2p})$$




Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Ça me fait penser à ça : pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

$$ n = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{an}{a+1} \right\rfloor}{a} \right\rfloor \right) = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{(a+1)n}{a} \right\rfloor}{a+1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{a+1} \right\rfloor \right) \text{.}$$

Je n'ai aucune idée de comment faire, ni si c'est difficile (ça ne m'inspire pas trop). J'avais obtenu ça un jour en foirant la résolution d'un exercice. La solution était simplement n et j'avais trouvé ces deux horribles formules. Je ne me souviens plus de l'exercice, malheureusement.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
C'est une conjecture ou tu sais le démontrer ?
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
C'est ça que tu cherches non?

Algorithme (php)

Article sur l'Unicité

;)
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
après j'ai eu l'idée de l'extension à mod 2PI, qui a donné suite à des débats avec la valeur de part modulaire de mod -1, qui s'avère être parfaitement correspondant au groupe. C'était le jour et à l'heure du passage des ondes gravitationnels, dans un cours de logique avec Didier Gamblin à Paris 13, un professeur incroyable.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
@Thomas : je pense que tu t'es trompé de discussion.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
T'es sur?
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Ben ouais, non absolument pas.

...

Tiens pour preuve.

Factorisation de tous les 100^100 n pour tout a ou a = b racine c mod e.

Allez hoop !

[bitbucket.org]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Sur ce fil, il n'est pas question de RSA, ici oui : [www.les-mathematiques.net]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
@pourexemple : J'ai retrouvé l'exercice duquel la formule vient (ce n'est pas une conjecture). Je ne sais pas trop si ça a un intérêt de chercher sans l'exercice, donc je le donne (sélectionner ci-dessous pour le voir).

Dénombrer le nombre de manières d'écrire un entier n sous la forme $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ avec les $a_i$ des entiers strictement positifs croissants (pas forcément strictement) et $a_i - a_1 \leq 1$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Champ-Pot-Lion.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
@Champolion : en fait le but de ce fil est de proposer des énoncés de calculs exacts avec les parties entières dont on est à l'origine.

Bonne soirée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Je ne sais pas exactement ce que tu veux dire par là. Pour résoudre l'exercice, je suis parti dans une direction trop complexe, j'ai trouvé les formules compliquées, mais la réponse est simplement n. Ça donne une preuve combinatoire de la formule. Ensuite, on peut la donner sans l'exercice à l'origine. Ça n'entre pas dans le cadre du fil ?
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Si tu es à l'origine de l'exercice (et que tu en connais une solution), tout à fait, si c'est un exercice que tu reprends, là, ce fil n'est pas dédié à ce genre d'énoncé.

Désolé, j'allais faire le dictateur. Toi et ton énoncé, sont les bienvenus.

Merci encore et bonne nuit.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
Champ-Pot-Lion écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Oui, malheureusement, par la maléabilité des citations, une fois la source modifié, la citation s'en voit modifier. So ! ... La dernière ligne inclut désormais une définition imparfaite.
-------------------------------------------------------

Et ben voila ! Merci ! C'est donc bien un énoncé qu'on appelle des identités d'union. Y a tout un ensemble qui en a dérivé à la suite de mes travaux.

Donc, merci !

Apparemment mon propos à disparu.

----

Pour rappel. Les identités d'union, se forment pour les equations rapportant par leur décomposition spécifique, le retour de la valuer d'union : 1.

Il est également à noter que ces décompositions ont une capacité à devenir des Variétés.

Par extensions, ces variétés par foncteurs ou compositions, se transforment en Topoï et de fait, inclut toutes les possibilités, soit par extension fonctorielle, soit par composition, etc... de devenir une catégorie, triviale ou non triviale dans l'ensemble de l'éventail de tous les groupes possibles.


Après y a plus qu'à jouer...

Moi j'ai modifié ma structure algébrique pour produire une membrane sur Z(n)/Z ^ /infty .



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par thomasnaret.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
salut

je vois qu'on peut poster des résultats avec les parties entières ici (bon après ça serai chouette d'ouvrir un topic comme ça mais désolé si j'ai mal compris )

j'ai un truc sympa (ma démo 16 pages format A4 certes j'ai pas pu faire plus court mais bon à mon avis c'est faisable de faire plus court)

pour partie entière j'utilise la notation [...]

ci-dessous $l,m,n$ tous dans $\mathbb {N}^*$ tels que

$0<m<n$
$\frac {n}{m}>\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$r=n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$\frac {m}{r}>\begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0<l$
alors en posant

$v=1+ \begin {bmatrix}\frac {lr}{m}\end {bmatrix}$
$t=u_{v-2}$

selon pour tout $i\in \mathbb {N}$ alors

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}> \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i=1+ \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

donc comme je viens de le dire $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$

et en posant pour tout $ i\in \mathbb {N}^*$ alors $h_i$ selon

$h_1=u_0$

et pour tout $ i>1$ alors $h_i=u_{i-1}-u_{i-2}$

________________________________

On vérifie

-lorsque $v=4$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$

-lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$

-lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Bonjour,

@Fluo : Peux-tu expliciter le résultat que tu prouves ?
Merci.

Bonne journée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
EDIT : dans cet exemple là la valeur de $h_3=271$ est inutile
on en a pas besoin(je l'ai calculé mais là elle sert à rien dans la formule)

mais c'est dans cet exemple là ...

bonjour pourexemple

par exemple pour

$m=20017$
$n=40108$
$l=50017$

on obtiens $\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}=2 506 349 662$

on a pas besoin de faire cette sommation pour calculer le résultat

_______________________________

$ \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}=2 506 349 662$

avec
$r=74$
$v=185$
$u0=271$
$t=49772$
$h_2=270$
$h_3=271$

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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J'ai l'impression (peut-être à tord) que le calcul que tu fais, est aussi long que le calcul que tu proposes de simplifier.

Bonne journée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
une sommation de neuf termes contre ...plus de 50000...

c'est une façon de voir la chose lol winking smiley

bonne journée à toi

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Peux-tu écrire de manière formelle, le résultat que tu proposes ?

Merci.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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je t'ai donné les formules non? ...c'est formel et je t'ai donné un exemple

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Tu serais calculer cela avec ta formule : $k = \sum_{i=0}^r \lfloor \frac{qi}{p} \rfloor$.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Si oui, on a besoin de toi ici : [www.les-mathematiques.net]

Bonne journée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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salut camarade pourexemple

pour voir si tu as compris mes formules

regarde ce que donne la valeur de v et de r et verifie si $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$

si v=4 cette derniere égalité n'a pas d'importance mais si v est supérieur à 4 là il faudra le vérifier

sinon ces formules ne sont pas les bonnes

je l'ai dit dans la formulation ... mais il y a d'autres formulations pour d'autres cas ...(juste que c'est pas en 16 pages la demo là ... drinking smiley )

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Désolé, je ne vais pas faire l'effort de la comprendre, par contre ici : [www.les-mathematiques.net]

Je pense qu'il se fera un devoir de la comprendre, sous-peine, de peut-être manquer, quelques choses d'assez remarquable.

Bonne continuation.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
merci camarade pourexemple

sinon j'ai pris m=20017 pour la nouvelle année 20017 qui viens dans quelques jours (heu non 2017 pardon)

bonne continuation à toi aussi (c'est sympa ce topic)

EDIT pour éviter que l'on passe d'un résultat à l'autre d'un post à l'autre je continue là-bas [www.les-mathematiques.net]

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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il y a une simplification vue par Depasse là bas -> [www.les-mathematiques.net]

ça raccourci un peu les formules données ici

c'est complètement idiot de ma part d'avoir bêtement recopié ma démo ...

mais comment j'aurai pu construire ces formules sans tout compliquer - ? des fois pour avoir un truc faut être aussi tordu que le truc que l'on cherche

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Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Salut (un peu d'humour)

À ce propos je viens de faire une démo stupide (car j'estime que vous trouverez ça trivial -et moi aussi d'ailleurs...) et donc en plus ne servant à pas grand chose

pourtant écrite en 27 lignes (mais franchement pas moyen de faire plus court)

c'est tout bête pourtant j'ai eu besoin de 27 lignes

soit $x\in \mathbb {R}^*_+-\mathbb {N}$

alors en posant $u=\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}=0$

ou en posant $u=1+\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}>0$

on obtient tout simplement

$\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$

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Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Citation Fluo :
$\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$

Non, je ne pense pas, prend par exemple $x=0.5$ et $u=3$.

Bonne journée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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bonjour pour exemple

tu te trompe

si x=0.5 on obtient u=2

attention à bien lire car on ne peut pas choisir u librement (il dépend de x)

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Bonsoir,

Oui, en effet.

Bon courage.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Bonsoir pourexemple

merci

j'en ai placé un qui signifie la même chose mais sans conditionnelle pour la solution de u

je l'ai placé sur le topic "congrence de noël" en rubrique algèbre, car ça permet de mieux visualiser comment va se résoudre les sommations avec $a_i$

bonne soirée à toi

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Edit pour-exemple et non pas contre-exemple

Bonjour Pour-Exemple

deux autres résultats sur des calculs avec des parties entières

là -> majorant et minorant d'une suite finie de réels [www.les-mathematiques.net]

et là ->symbole de Levi-Civita d'ordre n [www.les-mathematiques.net]


sinon à part ça : où est passé pour-exemple ? pourquoi son bannissement ? mince! il était gentil et intelligent (c'est rare d'avoir ces deux qualités en même temps)

Ce sujet ça l'aurai intéressé en tout cas

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Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par fluorhydrique.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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Bonjour,

@Fluo, merci de te soucier de mon état, et j'ai été débanni... grinning smiley

Pour ce qui est du 114, j'ai donné la solution ici : [www.ilemaths.net]

Bonne journée.
Re: Calcul exact avec les parties entières
il y a deux années
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de rien pour-exemple ...

tu est constant (pas du tout lunatique...des gens pas lunatiques, il en existe pas dans mon milieu, c'est nouveau pour moi ça)

bonne soirée camarade

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