Calcul exact avec les parties entières

Ça me fait penser à ça : pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a

$$ n = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{an}{a+1} \right\rfloor}{a} \right\rfloor \right) = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{(a+1)n}{a} \right\rfloor}{a+1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{a+1} \right\rfloor \right) \text{.}$$

Je n'ai aucune idée de comment faire, ni si c'est difficile (ça ne m'inspire pas trop). J'avais obtenu ça un jour en foirant la résolution d'un exercice. La solution était simplement n et j'avais trouvé ces deux horribles formules. Je ne me souviens plus de l'exercice, malheureusement.

C'est ça que tu cherches non?

Algorithme (php)

Article sur l'Unicité

Ben ouais, non absolument pas.

...

Tiens pour preuve.

Factorisation de tous les 100^100 n pour tout a ou a = b racine c mod e.

Allez hoop !

https://bitbucket.org/okechoby/the-100-100-grid/src

X:-(

salut

je vois qu'on peut poster des résultats avec les parties entières ici (bon après ça serai chouette d'ouvrir un topic comme ça mais désolé si j'ai mal compris )

j'ai un truc sympa (ma démo 16 pages format A4 certes j'ai pas pu faire plus court mais bon à mon avis c'est faisable de faire plus court)

pour partie entière j'utilise la notation [...]

ci-dessous $l,m,n$ tous dans $\mathbb {N}^*$ tels que

$0<m<n$
$\frac {n}{m}>\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$r=n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$\frac {m}{r}>\begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0<l$
alors en posant

$v=1+ \begin {bmatrix}\frac {lr}{m}\end {bmatrix}$
$t=u_{v-2}$

selon pour tout $i\in \mathbb {N}$ alors

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}> \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i=1+ \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$

donc comme je viens de le dire $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$

et en posant pour tout $ i\in \mathbb {N}^*$ alors $h_i$ selon

$h_1=u_0$

et pour tout $ i>1$ alors $h_i=u_{i-1}-u_{i-2}$

________________________________

On vérifie

-lorsque $v=4$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$

-lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$

-lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors

$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$

EDIT : dans cet exemple là la valeur de $h_3=271$ est inutile
on en a pas besoin(je l'ai calculé mais là elle sert à rien dans la formule)

mais c'est dans cet exemple là ...

bonjour pourexemple

par exemple pour

$m=20017$
$n=40108$
$l=50017$

on obtiens $\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}=2 506 349 662$

on a pas besoin de faire cette sommation pour calculer le résultat

_______________________________

$ \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}=2 506 349 662$

avec
$r=74$
$v=185$
$u0=271$
$t=49772$
$h_2=270$
$h_3=271$

une sommation de neuf termes contre ...plus de 50000...

c'est une façon de voir la chose lol ;-)

bonne journée à toi

je t'ai donné les formules non? ...c'est formel et je t'ai donné un exemple

il y a une simplification vue par Depasse là bas -> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1374234,1374990#msg-1374990

ça raccourci un peu les formules données ici

c'est complètement idiot de ma part d'avoir bêtement recopié ma démo ...

mais comment j'aurai pu construire ces formules sans tout compliquer - ? des fois pour avoir un truc faut être aussi tordu que le truc que l'on cherche

Edit pour-exemple et non pas contre-exemple

Bonjour Pour-Exemple

deux autres résultats sur des calculs avec des parties entières

là -> majorant et minorant d'une suite finie de réels http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392370,1392370#msg-1392370

et là ->symbole de Levi-Civita d'ordre n http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392886


sinon à part ça : où est passé pour-exemple ? pourquoi son bannissement ? mince! il était gentil et intelligent (c'est rare d'avoir ces deux qualités en même temps)

Ce sujet ça l'aurai intéressé en tout cas

de rien pour-exemple ...

tu est constant (pas du tout lunatique...des gens pas lunatiques, il en existe pas dans mon milieu, c'est nouveau pour moi ça)

bonne soirée camarade