Un résultat général de théorie des ensembles

pourexemple · January 2017

Bonjour,

Soit $n>2$ un nombre entier, $A\subset \{1,...,n\}^2$, tel que :
$$\{p\text{ | } \exists q \in \{1,...,n\}, (p,q)\in A\}=\{q\text{ | } \exists p \in \{1,...,n\}, (p,q)\in A\}=G$$
$$\sum \limits_{(a,b)\in A} a \neq \sum \limits_{(a,b)\in A} b$$

A-t-on alors, $\text{card}(A)>\text{card}(G)$ ?

Bonne journée.

Shah d'Ock · January 2017

L'inégalité large est claire.
S'il y avait égalité alors toute fibre non vide serait de cardinal 1. On aurait donc $\sum_{(p,q) \in A} p = \sum_{p \in G} p = \sum_{(p,q) \in A} q$.
Sauf erreur.

pourexemple · January 2017

C'est quoi une fibre ?

PS : étant donné, que la preuve fait quelques lignes j'attends que vous la publier intégralement.

depasse · January 2017

Bonjour pourexemple,

Si $f$ est une application de $E$ dans $F$ la fibre d'un élément $y$ de $F$ est $f^{-1}(\{y\})$.

Shah d'Ock · January 2017

Exact. Il s'agit ici des fibres des projections naturelles.

pourexemple · January 2017

@Depasse : Merci.

@Shah d'Ock : Mais, ici il n'est pas questions de fonctions, ou alors il faudrait me dire laquelle.
Comme je l'ai dit la preuve (complète) fait quelques lignes, donc j'attends une preuve complète.

Bonne soirée.