Série de combinatoire
Bonsoir ! :-)
Je travaille actuellement sur un exercice de probabilités assez simple qui m'est venu à l'esprit il y a quelque temps (pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, soit une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ comportant $n$ fois le nombre $1$ et puis que des $0$. $\forall k \in [|1,n|]$, calculer $\mathbb{P}(tr(M) = k)$. Il est assez simple de déterminer $\mathbb{P}(tr(M) = k)$, cependant, quand arrive le moment de les sommer pour vérifier que cette somme vaut bien $1$, je me heurte à une série que je ne sais pas comment calculer :
$\displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}\dfrac{1}{k!}$
Edit : j'ai fait une erreur -grossière, excusez m'en- dans mes calculs qui m'a mené à cette somme, au temps pour moi, elle n'a rien à voir avec le problème originel !
Est-ce que quelqu'un aurait une idée s'il vous plaît ? Merci, bonne soirée !
Je travaille actuellement sur un exercice de probabilités assez simple qui m'est venu à l'esprit il y a quelque temps (pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, soit une matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ comportant $n$ fois le nombre $1$ et puis que des $0$. $\forall k \in [|1,n|]$, calculer $\mathbb{P}(tr(M) = k)$. Il est assez simple de déterminer $\mathbb{P}(tr(M) = k)$, cependant, quand arrive le moment de les sommer pour vérifier que cette somme vaut bien $1$, je me heurte à une série que je ne sais pas comment calculer :
$\displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}\dfrac{1}{k!}$
Edit : j'ai fait une erreur -grossière, excusez m'en- dans mes calculs qui m'a mené à cette somme, au temps pour moi, elle n'a rien à voir avec le problème originel !
Est-ce que quelqu'un aurait une idée s'il vous plaît ? Merci, bonne soirée !
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Réponses
Tu n'as pas défini proprement ta loi, mais si elle est uniforme sur l'ensemble de matrices que tu décris, alors $\mathrm{tr}(M)$ suit une loi hypergéométrique. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ peut alors se faire directement avec la formule de Vandermonde.
Je ne comprends pas d'où sort ta somme (qui n'est pas une série).
Tu as envoyé ton message pendant que j'écrivais le mien, qui ne suit le tien que de 3 minutes. Je ne t'ai donc pas recopié : tu pouvais t'en douter tout seul et t'éviter ainsi une remarque superflue et discourtoise.
Un exercice pour me faire pardonner : en notant $u_n$ la somme d'ArthurLimoge, étudier la convergence de $\dfrac{\log(u_n)}{\sqrt n}$ lorsque $n\to\infty$.
@ArthurLimoge : je ne connais pas de simplification remarquable de cette somme. Peux-tu détailler le raisonnement qui t'y amène ?
Edit : coquille signalée par Chaurien.
D'accord pour l'humour, mais cette somme $u_n$ ne me dit rien qui vaille.
Pas de « s » à « amène » (troisième personne).
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Mais la somme ne se simplifie pas.
Pour la somme, je suis juste parti du fait qu'il existe $\binom{n}{k}$ combinaisons de $k$ fois le nombre 1 sur la diagonale, chacune ayant pour probabilité $\dfrac{n}{n^2}\dfrac{n - 1}{n^2 - 1}\times$...$\times\dfrac{n - k + 1}{n^2 - k + 1}\times\dfrac{n^2 - n}{n^2 - k}...\dfrac{n^2 - 2n + k + 1}{n^2 - n + 1}$, d'où :
$\forall k : \mathbb{P}(tr(M) = k) = \dfrac{n!(n^2 - n)!^{2}}{(n-k)!n^{2}!(n^{2}-2n + k)!}$
Après, peut-être que rien que cette partie là est fausse, mais elle me semblait cohérente .
Edit : Ma somme $\displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \dfrac{1}{k!}$ n'a en effet rien à voir avec le problème, j'ai oublié un terme en sommant les $\mathbb{P}(tr(M) = k)$ ; au temps pour moi !
Bonne soirée