Série avec nombres de combinaisons

Voici une une autre démonstration.
Pour $k\in \mathbb{N}$, soit $ \displaystyle g_{k}(z)=\underset{n=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k}^{n})z^{n}$, série convergente pour $|z|<1$.
Pour $k\in \mathbb{N}^{\ast }$ et $|z|<1$, on a :
$\displaystyle g_{k}(z)=\underset{n=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k}^{n})z^{n}=(_{k}^{k})z^{k}+\underset{n=k+1}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k}^{n})z^{n}=z^{k}+\underset{m=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{~~~k}^{m+1})z^{m+1}=z^{k}+\underset{m=k}{\overset{+\infty }{\sum }}((_{k}^{m})+(_{k-1}^{~~m}))z^{m+1}$
$ \displaystyle =\underset{m=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k}^{m})z^{m+1}+(_{k-1}^{k-1})z^{k}+\underset{m=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k-1}^{~~m})z^{m+1}=z\underset{m=k}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k}^{m})z^{m}+\underset{m=k-1}{\overset{+\infty }{\sum }}(_{k-1}^{~~m})z^{m+1}=zg_{k}(z)+zg_{k-1}(z)$.
D'où : $g_{k}(z)=\frac{z}{1-z}g_{k-1}(z)$, et comme $g_{0}(z)=\frac{1}{1-z}$, on obtient bien : $g_{k}(z)=\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}}$.
Cette démonstration n'utilise pas la dérivation terme à terme et convient donc pour les classes préparatoires où les séries entières ne figurent pas au programme.
Elle s'applique à $z$ complexe, ce qui n'est pas le cas pour la démonstration par dérivation, sauf dans le cadre de la théorie de la variable complexe, au-delà de bac+2.

Bonne journée.
Fr. Ch.