Carte boules et boîtes

Hairah · April 2017

Je sollicite votre aide pour une feuille de TD que l'on n'a pas eut le temps de corriger.

Voici l'énoncé du premier exercice :
Dans un jeu de bridge (54 cartes, 13 par mains), combien y a-t-il de mains
a) ayant 5 carreaux ?
On prend donc 5 cartes parmi les 13 carreaux puis 8 dans le reste (41) soit :
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 41\\ 8 \end{pmatrix}$$

b) ayant 2 piques, 2 coeurs, 5 carreaux et 4 trèfles ?
On prend donc 2 cartes parmi les 13 piques, etc
$$\begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix}$$
c) ayant 5 carreaux et 4 trèfles
On prend donc 5 cartes parmi les carreaux , 4 parmi les trèfles et 4 parmi le reste du jeu.
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 28\\ 4 \end{pmatrix}$$

Est-ce correct ?

Ensuite je suis bloqué,
Soit n boules et k boîtes, numérotées toutes les deux.
De combien de façons peut-on répartir n boules dans k boîtes de sorte qu'il n'y ait pas de boîte vide ?

C'est les nombres de Stirling de seconde espèce ?

De même pour : Combien y a-t-il de surjections de {1,...,5} sur {1,2,3} ?

joel_5632 · April 2017

Bonjour

Pour les dénombrements en rapport avec le jeu de bridge, ça m'a l'air correct (à part que pour moi il n'y a que 52 cartes dans un jeu de bridge, pas 54)

De combien de façons peut-on répartir n boules dans k boîtes de sorte qu'il n'y ait pas de boîte vide ?

Cela revient à dénombrer le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à k éléments. Cela fait intervenir les nombres de Stirling de la 2 ème espèce

v13000 · April 2017

Pour les boules je serais tenté de raisonner ainsi :

Il y a k boites non vides, ce qui signifie que chacune contient au moins une boule.

Le nombre de possibilités c'est n (n-1) ... (n-k+1)

Une fois toutes les k boites non vides, il reste n-k boules à répartir dans k boites.

Etant donné qu'elles sont distinguables et que l'on ajoute k-1 cloisons pour les k boites on a n - k + (k-1) = n - 1

Le nombre de possibilités serait : (n-1) !

Mais comme les k-1 cloisons sont indiscernables, je divise par (k-1)! donc (n-1)! / (k-1)!

Ce qui donnerait le résultat : n (n-1) ... (n-k+1) x (n-1)! / (k-1)!

Je me trompe ?

joel_5632 · April 2017

@v13000

"Une fois toutes les k boites non vides, il reste n-k boules à répartir dans k boites"

soit k^(n-k) possibilités tout simplement

Mais je pense que tu te trompes car des rangements identiques sont comptés plusieurs fois en procédant ainsi

v13000 · April 2017

Exact : ce serait plutôt k^(n-k)

L'idée c'était de compter séparément le remplissage minimal de chaque boite, donc le choix d'une boule par boite.

Ensuite pour chaque choix de k boules on a le problème de répartir les n-k restantes.

Peut on trouver un seul dénombrement qui ferait les deux à la fois ?

GaBuZoMeu · April 2017

La manière habituelle de compter les surjections de $A$ à $n$ éléments dans $B$ à $k$ éléments est d'utiliser le principe d'inclusion exclusion.
Soit $F$ l'ensemble de toutes les fonctions de $A$ dans $B$.
Pour $b\in B$, soit $F_b$ l'ensemble des fonctions dont l'image ne contient pas $b$.
L'ensemble des surjections est $F\setminus \bigcup_{b\in B} F_b$, et le cardinal de cet ensemble est le cardinal de $F$ moins la somme des cardinaux des $F_b$ plus la somme des cardinaux des intersections deux à deux des $F_b$ moins la somme des cardinaux des intersections trois à trois plus etc.
On aboutit à la formule :
$$\sum_{i=0}^k (-1)^i{k\choose i} (k-i)^n \;.$$

Carte boules et boîtes

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