Carte boules et boîtes
Je sollicite votre aide pour une feuille de TD que l'on n'a pas eut le temps de corriger.
Voici l'énoncé du premier exercice :
Dans un jeu de bridge (54 cartes, 13 par mains), combien y a-t-il de mains
a) ayant 5 carreaux ?
On prend donc 5 cartes parmi les 13 carreaux puis 8 dans le reste (41) soit :
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 41\\ 8 \end{pmatrix}$$
b) ayant 2 piques, 2 coeurs, 5 carreaux et 4 trèfles ?
On prend donc 2 cartes parmi les 13 piques, etc
$$\begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix}$$
c) ayant 5 carreaux et 4 trèfles
On prend donc 5 cartes parmi les carreaux , 4 parmi les trèfles et 4 parmi le reste du jeu.
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 28\\ 4 \end{pmatrix}$$
Est-ce correct ?
Ensuite je suis bloqué,
Soit n boules et k boîtes, numérotées toutes les deux.
De combien de façons peut-on répartir n boules dans k boîtes de sorte qu'il n'y ait pas de boîte vide ?
C'est les nombres de Stirling de seconde espèce ?
De même pour : Combien y a-t-il de surjections de {1,...,5} sur {1,2,3} ?
Voici l'énoncé du premier exercice :
Dans un jeu de bridge (54 cartes, 13 par mains), combien y a-t-il de mains
a) ayant 5 carreaux ?
On prend donc 5 cartes parmi les 13 carreaux puis 8 dans le reste (41) soit :
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 41\\ 8 \end{pmatrix}$$
b) ayant 2 piques, 2 coeurs, 5 carreaux et 4 trèfles ?
On prend donc 2 cartes parmi les 13 piques, etc
$$\begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix}$$
c) ayant 5 carreaux et 4 trèfles
On prend donc 5 cartes parmi les carreaux , 4 parmi les trèfles et 4 parmi le reste du jeu.
$$\begin{pmatrix} 13\\ 5 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 13\\ 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 28\\ 4 \end{pmatrix}$$
Est-ce correct ?
Ensuite je suis bloqué,
Soit n boules et k boîtes, numérotées toutes les deux.
De combien de façons peut-on répartir n boules dans k boîtes de sorte qu'il n'y ait pas de boîte vide ?
C'est les nombres de Stirling de seconde espèce ?
De même pour : Combien y a-t-il de surjections de {1,...,5} sur {1,2,3} ?
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Réponses
Pour les dénombrements en rapport avec le jeu de bridge, ça m'a l'air correct (à part que pour moi il n'y a que 52 cartes dans un jeu de bridge, pas 54)
De combien de façons peut-on répartir n boules dans k boîtes de sorte qu'il n'y ait pas de boîte vide ?
Cela revient à dénombrer le nombre de surjections d'un ensemble à n éléments vers un ensemble à k éléments. Cela fait intervenir les nombres de Stirling de la 2 ème espèce
Il y a k boites non vides, ce qui signifie que chacune contient au moins une boule.
Le nombre de possibilités c'est n (n-1) ... (n-k+1)
Une fois toutes les k boites non vides, il reste n-k boules à répartir dans k boites.
Etant donné qu'elles sont distinguables et que l'on ajoute k-1 cloisons pour les k boites on a n - k + (k-1) = n - 1
Le nombre de possibilités serait : (n-1) !
Mais comme les k-1 cloisons sont indiscernables, je divise par (k-1)! donc (n-1)! / (k-1)!
Ce qui donnerait le résultat : n (n-1) ... (n-k+1) x (n-1)! / (k-1)!
Je me trompe ?
"Une fois toutes les k boites non vides, il reste n-k boules à répartir dans k boites"
soit k^(n-k) possibilités tout simplement
Mais je pense que tu te trompes car des rangements identiques sont comptés plusieurs fois en procédant ainsi
L'idée c'était de compter séparément le remplissage minimal de chaque boite, donc le choix d'une boule par boite.
Ensuite pour chaque choix de k boules on a le problème de répartir les n-k restantes.
Peut on trouver un seul dénombrement qui ferait les deux à la fois ?
Soit $F$ l'ensemble de toutes les fonctions de $A$ dans $B$.
Pour $b\in B$, soit $F_b$ l'ensemble des fonctions dont l'image ne contient pas $b$.
L'ensemble des surjections est $F\setminus \bigcup_{b\in B} F_b$, et le cardinal de cet ensemble est le cardinal de $F$ moins la somme des cardinaux des $F_b$ plus la somme des cardinaux des intersections deux à deux des $F_b$ moins la somme des cardinaux des intersections trois à trois plus etc.
On aboutit à la formule :
$$\sum_{i=0}^k (-1)^i{k\choose i} (k-i)^n \;.$$