Fixateurs d'une action de groupe

Bonjour ,
Sauf erreur, le nombre de parties à $ k$ éléments de $ \Z/n\Z$ fixées par un élément $ g$ d' ordre $d$ dans $\Z/n\Z$, est égal à zéro si $d$ ne divise pas $k$, et à $\displaystyle{\binom{n/d}{k/d}}$ sinon. Il est alors facile d' appliquer la formule de Burnside en utilisant la fonction $\varphi$ d'Euler.
Si $\Omega$ désigne l'ensemble des orbites de $\mathcal P_k (\Z/n\Z)$ sous l'action de $\Z/n\Z$, alors:
$$ \text{Card}(\Omega) = \dfrac 1n \displaystyle \sum_{d\mid k \wedge n} \varphi (d) \binom {n/d}{k/d}.$$

Amicalement,

Bonjour,
$ G=(\Z/n\Z, +)$ opère sur $X =\Z/n\Z$ par $(g, x) \mapsto x+g$.
Soit $g$ un élément d'ordre $d$ dans $\Z/n\Z$.( $d$ est aussi l'ordre du sous-groupe $H$ de $\Z/n\Z$ engendré par $g$ ).
L'orbite d'un quelconque élément $x$ de $X$ sous l'action de $H$ est $\{ x, x+g, x+2g,\ldots x +(d-1)g \}$ et est par conséquent de cardinal $d$. Ainsi ,si $ d$ ne divise pas $ k$ , alors $g$ ne stabilise aucune partie à $k$ éléments de $X$.

Si $ d$ divise $ k$ et si une $k-$ partie $A$ de $X$ est fixée par $g$, alors $A$ est une réunion disjointe de $k/d$ ensembles du type ci-dessus et on définit de manière unique une $k-$ partie $A$ de $X$ fixée par $g$ en choisissant $r= k/d$ éléments $a_1,a_2,\ldots a_r$ dans l'ensemble $\{ 0 ,1 ,2 , \ldots (n/d)-1 \}$. (il s'agit bien entendu de classes modulo $n$).
La partie $A$ ainsi définie est alors $A =\displaystyle{ \bigcup_{i=0}^{d-1}(B+ig)}$ , où $B = \{ a_1, a_2,\dots a_r \} $.
Il en résulte le dénombrement indiqué dans ma précédente intervention.

Amicalement,