Combinaisons de n premiers en deux produits

Pour la question 1, autant que de partitions d'un ensemble de n éléments en 2 sous ensembles,
soit S(n, 2) où S(n, k) sont les nombres de Stirling de 2 ème espèce

et $S(n, 2) = 2^{n-1}-1$

Si j'ai bien compris la question, pour qu'il y ait $k$ doublons dans $\{a_1,...,a_n\}$ il faut $n\geq 2k$.

Pour $k$ doublons avec $n=2k$ il y a $\dfrac{3^k-1}2$ façons différentes de partager $\{a_1,...,a_n\}$ en deux parties non vides.

Pour $k$ doublons avec $n\geq 2k+1$ il y a $3^k\times 2^{n-2k-1}-1$ façons différentes de partager $\{a_1,...,a_n\}$ en deux parties non vides.

Pour $k=1$ on retrouve $3\times 2^{n-3}-1$ valable pour $n\geq 3$ (mais pour $n=2$ on trouve 1).

En fait si on aborde le problème d'une autre façon c'est beaucoup plus simple.
On peut même généraliser beaucoup en considérant la factorisation en nombre premiers d'un entier $N$.

Un partage en deux parties d'un groupe de nombres premiers comportant $n_1$ fois $p_1$,...,$n_r$ fois $p_r$ revient à choisir un diviseur $\sigma$ de $N=\displaystyle\prod_{i=1}^rp_i^{n_i}$. Mais si on prend $\sigma'=\dfrac N\sigma$ on retrouve le même partage.
Il est facile de montrer que le nombre de diviseurs de $N$ est égal à $\tau(N)=\displaystyle\prod_{i=1}^r (n_i+1)$.

En excluant le partage où une partie est vide, le nombre de partages différents est donc égal à $\dfrac12\tau(N)-1$ si $N$ n'est pas un carré, à $\dfrac12(\tau(N)-1)$ si $N$ est un carré.

Par exemple pour $N=\displaystyle\prod_{i=1}^k p_i^2\prod_{j=1}^{n-2k} q_j$ on obtient $\tau(N)=3^k 2^{n-2k}$ d'où:
si $n=2k$, $N$ est un carré donc on obtient $\dfrac12(3^k-1)$
si $n>2k$, $N$ n'est pas un carré donc on obtient $3^k 2^{n-2k-1}-1$.