Action du groupe diédral

C'est quoi que tu appelles Pk(Z/nZ) ?

Bonjour,

J'appelle $X$ l' ensemble $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . Pour tout $p$ dans $X$ , $T_p$ et $S_p$ désignent les permutations de $X$ respectivement définies par:
$\forall x \in X:\:\:\ T_p(x) = x+p\:\:$ et $S_p(x) = -x+p.$
Enfin, je note: $T=\{T_p\:\:/p\in X\} $ , $S =\{S_p/ p\in X\}$ et $G\:\:=T \cup S$.
Dans ces conditions, $(G, \circ)$ est un groupe isomorphe au groupe diédral de cardinal $2n$ agissant sur l'ensemble $X $ ainsi que sur l'ensemble $ Y$ des parties à $k$ éléments de $ X$.
$T$ est un sous-groupe de $G$, isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et pour tout $t $ dans $T$, le cardinal des éléments de $Y$ fixés par $t$ a été calculé dans mon précédent message. (il dépend de l'ordre de $ t$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.)
Il reste donc à calculer , pour tout $ s$ dans $S$, le nombre $N(s)$ d'éléments de $Y$ fixés par $ s$. On trouve:
1) si $n$ est impair,
$$ N(s) =\left\{\begin{matrix} \binom {(n-1)/2} { k/2}& \text{si}\:\: k\:\:\text{ est pair} \\ \binom{(n-1)/2}{ (k-1)/2}& \text{sinon}\end{matrix}\right.$$
2) si $n$ est pair et $s = S_p$ ($p \in X$).
a) si $k$ est pair, $N(s) =\displaystyle { \binom{n/2 }{ k/2}}$.
b) si $k$ est impair, $$N(s) = \left\{\begin{matrix}2\binom{(n/2)-1} { (k-1)/2}&\text{ si }\:\: p\:\: \text{est "pair"} \\ 0 &\text{sinon}\end{matrix}\right.$$