heptagones croisés

Oui effectivement, tu en as seulement 3.
Si tu note $\alpha $ une racine 7ième de l'unité d'ordre 7 dans $(\mathbb{C}^{\star},\times)$, alors les puissances de $\alpha $ seront les sommets d'un heptagone régulier et l'angle orienté entre deux sommets consécutif aura pour mesure $Arg(\alpha)$.
Si on ne regarde que l'angle géométrique entre deux sommets, ça ne laisse pour $\alpha$ que trois possibilités donnant des heptagones différents : $e^{\frac{2i\pi}7 }$, $e^{\frac{4i\pi}7}$ et $e^{\frac{6i\pi}7 }$.

Je n'ai pas été très clair. Effectivement l'angle dont je parlais est $(\overrightarrow{OM_i},\overrightarrow{OM_{i+1}})$

Il faut que tu réalises qu'à chaque fois que tu as un heptagone régulier (convexe ou non), ses sommets $M_0=(1,0),M_1,...,M_6$ ont pour affixes les puissances successives d'une racine 7ième de l'unité d'ordre $7$: $\alpha^0, \alpha^1,...,\alpha^6$ et réciproquement, les puissances successives d'une racine 7ième de l'unité d'ordre $7$ sont les sommets etc.(A toi de voir pourquoi.)

A partir de là, tu généreras tous les heptagones régulier en prenant déjà $\alpha=e^\frac {2\pi i}7$ (là c'est le convexe) $(\overrightarrow{OM_i},\overrightarrow{OM_{i+1}})=e^\frac {2\pi i}7$

-puis tu en auras un autre avec $\alpha=e^\frac {4\pi i}7$ et $(\overrightarrow{OM_i},\overrightarrow{OM_{i+1}})=e^\frac {4\pi i}7$

-un troisième avec $\alpha=e^\frac {6\pi i}7$ et $(\overrightarrow{OM_i},\overrightarrow{OM_{i+1}})=e\frac {6\pi i}7$

Ensuite tu retomberas sur les précédents en tournants dans le sens indirect avec
$\alpha=e^\frac {8\pi i}7=e^\frac {-6\pi i}7$,
$\alpha=e^\frac {10\pi i}7=e^\frac {-4\pi i}7$
$\alpha=e^\frac {12\pi i}7=e^\frac {-2\pi i}7$

Bon, j'ai fait l'exercice qui consiste à calculer la liste de ces 39 heptagones (en Sage, je ne l'ai bien sûr pas fait à la main). Voici le résultat :

[[0, 1, 3, 4, 5, 6, 2],
[0, 1, 3, 4, 6, 5, 2],
[0, 1, 3, 5, 4, 6, 2],
[0, 1, 3, 5, 6, 4, 2],
[0, 1, 3, 6, 4, 5, 2],
[0, 1, 3, 6, 5, 4, 2],
[0, 1, 4, 3, 5, 6, 2],
[0, 1, 4, 3, 6, 5, 2],
[0, 1, 4, 5, 3, 6, 2],
[0, 1, 4, 5, 6, 3, 2],
[0, 1, 4, 6, 3, 5, 2],
[0, 1, 5, 3, 6, 4, 2],
[0, 1, 5, 4, 3, 6, 2],
[0, 1, 5, 6, 3, 4, 2],
[0, 1, 5, 6, 4, 3, 2],
[0, 1, 6, 3, 4, 5, 2],
[0, 1, 6, 4, 5, 3, 2],
[0, 1, 6, 5, 4, 3, 2],
[0, 1, 2, 4, 5, 6, 3],
[0, 1, 2, 6, 5, 4, 3],
[0, 1, 4, 2, 5, 6, 3],
[0, 1, 4, 2, 6, 5, 3],
[0, 1, 4, 5, 2, 6, 3],
[0, 1, 4, 5, 6, 2, 3],
[0, 1, 4, 6, 2, 5, 3],
[0, 1, 5, 2, 4, 6, 3],
[0, 1, 5, 2, 6, 4, 3],
[0, 1, 2, 5, 3, 6, 4],
[0, 1, 3, 5, 2, 6, 4],
[0, 1, 3, 5, 6, 2, 4],
[0, 1, 2, 4, 6, 3, 5],
[0, 1, 3, 4, 6, 2, 5],
[0, 1, 3, 6, 4, 2, 5],
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6],
[0, 2, 4, 6, 1, 5, 3],
[0, 2, 5, 1, 4, 6, 3],
[0, 2, 6, 4, 1, 5, 3],
[0, 2, 4, 6, 1, 3, 5],
[0, 3, 6, 2, 5, 1, 4]]

On constate qu'il n'y en a que 5 qui n'empruntent que des diagonales de l'heptagone régulier : les deux réguliers croisés et les 3 que tu as donnés.

Le code Sage qui fait le calcul :

# La liste des heptagones
Hepta=[]
for S in Subsets(Set(range(1,7)),2):
    Hepta+=[[0,S[0]]+list(P)+[S[1]] for P in Permutations(Set(range(1,7))-S) ]

# On ne garde que les distincts par rotation
def decal(i,H) :
    K=[H[(j+i)%7] for j in range(7)]
    L=[(k-K[0])%7 for k in K]
    if L[1]<L[6] : return L
    else : return [L[0]]+[L[-1-i] for i in range(6)]

def Testrota(H,K) :
    return any ( decal(j,H)==K    for j in range(7))     

Heptarot=[]
for H in Hepta :
    if all(Testrota(H,K)==False for K in Heptarot) : Heptarot+=[H]

# On ne garde que les distincts par symétrie
def sym(H): 
    K=[(7-h)%7 for h in H]
    return [K[0]]+[K[-1-i] for i in range(6)] 

def Testsym(H,K) :
    return any ( decal(j,H)==sym(K)    for j in range(7)) 

Heptarotsym=[]
for H in Heptarot :
    if all(Testsym(H,K)==False for K in Heptarotsym) : Heptarotsym+=[H]

Tu te trompes dans ton compte. Numérotons les sommets de l'heptagone régulier $0,1,2,3,4,5,6$
La description d'un heptagone peut se faire en fixant arbitrairement un sommet de départ, disons $0$. Le reste de la description est une permutation de l'ensemble $\{1,\ldots,6\}$, et il y a $6!=720$ telles permutations. Mais attention ! Il y a deux sens de parcours pour le même hexagone ! Il faut donc diviser par $2$, d'où le $360$.
Dans le programme que j'ai écrit, je commence par $0$ et je choisis un sens de parcours en imposant que le sommet qui vient juste après $0$ ait un numéro strictement plus petit que celui qui vient avant dans l'ordre circulaire, c.-à-d. le dernier de la liste de sept.
Pour le $54$ et le $39$, ce sont des applications de la formule de Burnside pour compter les orbites de l'action d'un groupe (le groupe $C_7$ cyclique d'ordre $7$ et le groupe diédral $D_7$ respectivement).

J'ai une question, ce logiciel Sage, c'est un programme d'analyse combinatoire, n'est-ce pas ?

Non, c'est un logiciel de calcul formel , libre et gratuit, que tu peux télécharger ici.