Pick sur un réseau non carré

Domi
Domi
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour à tous :-D

En cherchant un exercice de construction sur un réseau de triangles équilatéraux je suis tombé sur cette formule : $A=F+2I-2$ , qui fait penser à celle d'Euler ou de Pick ( $F$ est le nombre de points sur la frontière , $I$ le nombre de points à l'intérieur et $A$ l'aire de la figure en nombre de triangles ) .

Sur l'exemple $A=31$ , $I=5$ et $F=23$ .

Un résultat aussi simple est forcément connu mais je n'arrive pas à le prouver sans multiplier les cas . Existe-t-il des formules semblables pour d'autres pavages ?

Merci d'avance pour vos réponses et bonnes vacances à ceux qui ont la chance d'y être .

Domi65344

Réponses

  • Siméon
    Siméon
    À une transformation affine près, c'est la formule de Pick usuelle, non ?
  • Domi
    Domi
    Sûrement Siméon , mais j'ai du mal à voir la transformation .

    Domi
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Une transvection, je dirais.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Un carré du réseau devient un losange formé par deux triangles, ce qui explique le facteur 2 par rapport à la formule de Pick.
  • Domi
    Domi
    Ah oui , c'est très simple et très visuel ! On remplace les lignes horizontales par des élastiques et on déforme le système articulé pour en faire un réseau carré . La formule de Pick donne le nombre de carrés et donc de triangles .

    Merci à tous les trois .

    Domi
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