graphe dual d'un graphe biparti planaire

Bonjour

Soit $G$ un graphe planaire. Le graphe dual $G^*$ de $G$ est le graphe dont les sommets correspondent aux faces de $G$ et tel que à chaque arête commune entre deux faces de $G$ correspond une arête dans $G^*$ entre les sommets correspondants.

On remarque que $G^*$ n'a aucune raison d'être simple. Par exemple, pour $G=C_n$, graphe cyclique à $n$ sommets, $G^*$ n'a que deux sommets mais qui sont reliés par $n$ arêtes.

L'exercice est le suivant :

Montrer qu'un graphe planaire $G$ est biparti si et seulement si $G^*$ est eulérien.

Pour la condition nécessaire, si $G$ est biparti, alors tout les cylces de $G$ sont de longueur paire, et en particulier toutes les faces de $G$ sont de degrés pairs. Le degré d'une face dans $G$ est exactement le degré du sommet correspondant dans $G^*$ donc $G$ est eulérien.

Je sèche sur la condition suffisante. Quelqu'un veut bien m'aider ?

Merci d'avance.