Pour tout entier naturel \(n\), \(n!\) est le nombre de bijections de \(n=\lbrace 0,\dots,n-1\rbrace\) dans lui-même.
Il n'existe qu'une seule application de l'ensemble vide dans lui -même, et cette application est bijective ; il en résulte que : \[0!=1.\]
Cette bijection, c'est l'application vide. Son graphe est le seul graphe de $\varnothing \times \varnothing$.
Coup de bol, ce graphe est un graphe fonctionnel.
@Chaurien: vu le niveau d'études de mehdi, ce serait très étonnant qu'il n'ait pas rencontré la fonction Gamma.
Mais puisqu'il fait des probas, peut-être qu'il peut se procurer l'article de Portmanteau: un espoir pour l'ensemble vide (ceci est une plaisanterie qui amusera les initiés, que les autres n'en prennent pas ombrage).
Je ne connais pas cette blague mais j'aimerais la connaître.
C'est comme pour $0^0$. Il y a les justifications ensemblistes, qui ne sont pas sans intérêt. Mais une fois qu'on a vu que l'application vide est bijective, on peut l'oublier, ça ne changera pas notre façon de faire des maths. Plus simplement, on peut justifier ces égalités-limites comme conventions permettant par le prolongement des égalités vraies par ailleurs, ici $ (n+1)!=n!(n+1)$, ce qui est compréhensible dès qu'on voit la factorielle, sans attendre d'avoir vu la fonction $\Gamma$.
Il s'agit d'un canular probabiliste initié par le mathématicien Patrick Billingsley, qui a écrit de bons livres pédagogiques en probabilité.
Dans la 2e édition de Convergence of Probability Measure, il présente un résultat important sur la convergence en loi sous le nom de théorème de Portmanteau. Portmanteau désigne un grand sac de voyage, réputé d'origine française, un peu comme celui-ci https://i.pinimg.com/236x/18/c1/52/18c1526fbd1312a251cfaacf0ad3d04b--mens-overnight-bag-mens-vintage.jpg
D'après des témoignages, disait qu'avec ce théorème, on pouvait transporter ce qu'on voulait (ou y accrocher ce qu'on veut ? l'affaire n'est pas claire car Billingsley connaissait le français).
Cependant, il s'agit bien du théorème de Portmanteau, et non du portmanteau. En effet, Billingsley inclut dans sa bibliographie l'article de Jean-Pierre Portmanteau (1915) "Un espoir pour l'ensemble vide", Université de Felletin.
Bien sûr, ni Jean-Pierre Portmanteau, ni l'université de Felletin n'existent; ce n'est qu'une blague de potache.
Nous avons maintenu cette référence dans notre livre avec Aline Kurtzmann, en hommage à ce grand mathématicien qu'était Patrick Billingsley.
Réponses
Pour tout entier naturel \(n\), \(n!\) est le nombre de bijections de \(n=\lbrace 0,\dots,n-1\rbrace\) dans lui-même.
Il n'existe qu'une seule application de l'ensemble vide dans lui -même, et cette application est bijective ; il en résulte que : \[0!=1.\]
Comment il n'existe qu'une seule application de l'ensemble vide dans lui -même ?
C'est quoi cette application du vide dans lui-même ?
Cette bijection, c'est l'application vide. Son graphe est le seul graphe de $\varnothing \times \varnothing$.
Coup de bol, ce graphe est un graphe fonctionnel.
e.v.
Je ne crois pas que la justification par $\Gamma$ soit opportune.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1547934,1547934#msg-1547934
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Mais puisqu'il fait des probas, peut-être qu'il peut se procurer l'article de Portmanteau: un espoir pour l'ensemble vide (ceci est une plaisanterie qui amusera les initiés, que les autres n'en prennent pas ombrage).
C'est comme pour $0^0$. Il y a les justifications ensemblistes, qui ne sont pas sans intérêt. Mais une fois qu'on a vu que l'application vide est bijective, on peut l'oublier, ça ne changera pas notre façon de faire des maths. Plus simplement, on peut justifier ces égalités-limites comme conventions permettant par le prolongement des égalités vraies par ailleurs, ici $ (n+1)!=n!(n+1)$, ce qui est compréhensible dès qu'on voit la factorielle, sans attendre d'avoir vu la fonction $\Gamma$.
Dans la 2e édition de Convergence of Probability Measure, il présente un résultat important sur la convergence en loi sous le nom de théorème de Portmanteau. Portmanteau désigne un grand sac de voyage, réputé d'origine française, un peu comme celui-ci
https://i.pinimg.com/236x/18/c1/52/18c1526fbd1312a251cfaacf0ad3d04b--mens-overnight-bag-mens-vintage.jpg
D'après des témoignages, disait qu'avec ce théorème, on pouvait transporter ce qu'on voulait (ou y accrocher ce qu'on veut ? l'affaire n'est pas claire car Billingsley connaissait le français).
Cependant, il s'agit bien du théorème de Portmanteau, et non du portmanteau. En effet, Billingsley inclut dans sa bibliographie l'article de Jean-Pierre Portmanteau (1915) "Un espoir pour l'ensemble vide", Université de Felletin.
Bien sûr, ni Jean-Pierre Portmanteau, ni l'université de Felletin n'existent; ce n'est qu'une blague de potache.
Nous avons maintenu cette référence dans notre livre avec Aline Kurtzmann, en hommage à ce grand mathématicien qu'était Patrick Billingsley.