Dénombrement

GENDRAUD · January 2018

Bonjour

J'ai une liste d'entiers naturels de taille n.
La seule contrainte:
soit m =max(liste)
pour tout i tel que 1 =< i =< m il existe j tel que liste[j]=i.
Combien il y a-t-il de listes possibles ?

Merci d'avance pour votre aide.

Math Coss · January 2018

Une liste, c'est une application $f$ de $\{1,\dots,n\}$ dans $\{1,\dots,m\}$. Tu veux que chaque entier de $\{1,\dots,m\}$ figure dans la liste : cela signifie que $f$ est surjective.

Le nombre $L_{n,m}$ de tes listes, c'est-à-dire de surjections d'un ensemble à $n$ éléments sur un ensemble à $m$ éléments est lié aux nombres de Stirling de deuxième espèce. On a la formule explicite suivante :
\[L_{n,m}=\sum_{j=0}^m(-1)^{m-j}\binom{m}{j}j^n.\]

GENDRAUD · January 2018

Merci beaucoup (:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D(:P)(:P)(:P)(:D

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