matrices homogènes

Bonjour
Notons:
$E$ l'ensemble des ($n\times n$)-matrices dont les coefficients sont dans $\{ 0,1\}$.
$F$ l'ensemble des $j$-parties de $ \{1,2,\ldots,n\}$.
Pour tout $X$ dans $F^2$, $A_X$ l'ensemble des matrices de $E$, "constantes" sur la ($j\times j$)- sous-matrice définie par $X$.

Supposons que toute matrice de $E$ contienne une ($j\times j$)-sous-matrice "homogène".
Alors \begin{array}{rcl}
E &=& \bigcup_{X \in F^2} A_X, \:\:\text{ainsi},\\
\mathrm{Card} E&\leq& \sum_{X\in F^2}\mathrm {Card}A_X \\
2^{n^2} &\leq& \binom{n}{j}^2\times 2\times 2^{n^2-j^2}.
\end{array}
Or, l'inégalité obtenue en majorant $\displaystyle{\binom{n}{j}}$ par $\displaystyle{\frac{n^j}{j}}$ dans l'inégalité précédente, se révèle incompatible avec les hypothèses faites sur $n$ et $j$.
Amicalement,

[Ne pas abuser des expressions centrées. :-) AD]