Dénombrements
Bonsoir
1-) Soit $P_n$ le nombre d'applications surjectives d'un ensemble ayant $n$ élément vers un ensemble ayant 3 éléments $(n\geq 3)$
Établir une relation de reccurence entre p et n+1.
2-) Montrons que si $Card(E)=n$ on $CardP_E= 2^n$
[Ne pas poster plusieurs fois le même message. J'ai effacé un message identique à celui-ci. --JLT]
1-) Soit $P_n$ le nombre d'applications surjectives d'un ensemble ayant $n$ élément vers un ensemble ayant 3 éléments $(n\geq 3)$
Établir une relation de reccurence entre p et n+1.
2-) Montrons que si $Card(E)=n$ on $CardP_E= 2^n$
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Je vérifie l'énoncé
Facile : $(n+1)= (n) + 1$.
Ensuite, à toi d'examiner les surjections d'un ensemble à n+1 éléments, en essayant de faire apparaître des surjections d'un sous-ensemble à n éléments.
Tu peux déjà examiner le cas de n=3, et calculer au passage $P_3$ et $P_4$; puis, si tu manques encore d'idée, examiner le cas n=4 et voir comment tu peux déduire $P_5$ de $P_4$.
Cordialement.
NB : je ne connais pas la réponse, je n'ai jamais fait cet exercice, je te donne seulement quelques idées sur comment aborder le problème (idées que tu aurais pu avoir seul si tu avais vraiment décidé de t'attaquer à cette question).
Quels sont les choix possibles pour $f(n+1)$ ?
Une fois $f(n+1)$ choisi, quelles possibilités pour la restriction de $f$ à $E_n=\{1,2,\ldots,n\}$ ?
je pense que $P_{n+1} = 3(P_n + D_n)$ où $D_n$ est le nombre de surjections d'un ensenble à $n$ éléments vers un ensemble à $2$ éléments.
Qu'est ce qui est supposé connu ? Qu'est ce qui n'est pas supposé connu ?
Je vois pas encore la liaison entre la question 1) et la 2).
PS: On connait la formule donnant le nombre de surjections d'un ensemble à $n$ éléments vers un ensemble à $p$ éléments.
T'en penses quoi ? A tout à l'heure.
Cordialement.
@wilfrednbsi, Je te donne la relation de récurrence, espérant que tu sauras comment le retrouver avec mon premier message:
1) $P_{n+1} = 3(P_n + 2^{(n-1)} + n - 1)$
@wilfrednbsi le terme $n - 1$, je le pense pas juste. Je le retrouve plus dans mes vérifications (je pense qu'il y a une erreur de parenthèse).
Excuse et vérifie..
Dommage que personne ne l'ait vérifiée !