Principe des tiroirs dans le plan

https://www.cut-the-knot.org/pigeonhole/TwoColorsInPlane.shtml#solution

Bonjour,
Le lien " www.Cut -the -knot.org" développe un argument qui concerne les coloriages bicolores, mais que l'on peut facilement étendre aux coloriages à $n$ couleurs. ($n\geq2$). On peut ainsi voir que:
Pour tout $n\geq2$, tout "$n$-coloriage" de $ \mathcal E=:\{1,2,..n+1\}\times\{1,2,...(n+1)^n+1\}$ possède un "rectangle unicolore".
En effet, pour chacune des $(n+1)^n+1$ "lignes" de $\mathcal E$, il y a $(n+1)^n\:\: $ $n$-coloriages possibles.
Donc il existe deux lignes distinctes numérotées $i$ et $j$ de $\mathcal E$ qui sont "identiquement coloriées", et au sein de ces lignes qui contiennent $n+1$ éléments, deux éléments distincts $k$ et $l$, qui ont la même couleur.
Ainsi $(k,i),(l,i),(k,j),(l,j)$ sont les sommets d' un rectangle unicolore.