Espérance d'un événement
Bonjour,
j'ai récemment voulu réviser mon cours de probabilité et je bloque sur quelque chose. En effet l'espérance d'un variable aléatoire $X$ vaut :
$$E[X] = \sum x * Pr[X = x]$$
pour tout $x$ appartenant au domaine de définition de X. Jusque là ça va mais j'ai quand même une petite question est-ce que cela est valable uniquement pour les domaines de définition fini ou infiniment comptable ou aussi pour les infinis ?
Maintenant ce que je ne comprends pas c'est qu'on me donne une seconde formule qui est utilisable uniquement pour les domaines de définition ne comportant que des valeurs positives qui est :
$$E[X] = \sum_{i = 1}^\infty Pr[X \geq i]$$
Pourriez vous m'expliquer la différence entre les deux en terme d'application ? Je suppose que ça a quelque chose à faire avec l'infinité et le signe des valeurs de X mais je n'arrive pas exactement à dissocier les deux.
Encore une chose sur laquelle je bloque, la démonstration de la deuxième partant de la première :
On part donc de : $E[X] = \sum_{i = 0}^\infty i * Pr[X = i]$
On nous dit ensuite $$\sum_{i = 0}^\infty i * Pr[X = i] = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 1}^i Pr[X = i]$$
Ce dont je n'arrive pas à me convaincre, et pareille pour les deux phases suivantes :
$$\sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 1}^i Pr[X = i] = \sum_{j = 1}^\infty \sum_{i = j}^\infty Pr[X = i] = \sum_{j = 1}^\infty Pr[X \geq j]$$
Ce qui nous donne bien la seconde formule.
Si vous avez la flemme de m'expliquer la démonstration ce n'est pas trop grave, même si j'aimerais bien comprendre, le plus important est plutôt quand est-ce qu'on choisit l'une ou l'autre ?
Merci de vos réponses et un bon week-end.
j'ai récemment voulu réviser mon cours de probabilité et je bloque sur quelque chose. En effet l'espérance d'un variable aléatoire $X$ vaut :
$$E[X] = \sum x * Pr[X = x]$$
pour tout $x$ appartenant au domaine de définition de X. Jusque là ça va mais j'ai quand même une petite question est-ce que cela est valable uniquement pour les domaines de définition fini ou infiniment comptable ou aussi pour les infinis ?
Maintenant ce que je ne comprends pas c'est qu'on me donne une seconde formule qui est utilisable uniquement pour les domaines de définition ne comportant que des valeurs positives qui est :
$$E[X] = \sum_{i = 1}^\infty Pr[X \geq i]$$
Pourriez vous m'expliquer la différence entre les deux en terme d'application ? Je suppose que ça a quelque chose à faire avec l'infinité et le signe des valeurs de X mais je n'arrive pas exactement à dissocier les deux.
Encore une chose sur laquelle je bloque, la démonstration de la deuxième partant de la première :
On part donc de : $E[X] = \sum_{i = 0}^\infty i * Pr[X = i]$
On nous dit ensuite $$\sum_{i = 0}^\infty i * Pr[X = i] = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 1}^i Pr[X = i]$$
Ce dont je n'arrive pas à me convaincre, et pareille pour les deux phases suivantes :
$$\sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 1}^i Pr[X = i] = \sum_{j = 1}^\infty \sum_{i = j}^\infty Pr[X = i] = \sum_{j = 1}^\infty Pr[X \geq j]$$
Ce qui nous donne bien la seconde formule.
Si vous avez la flemme de m'expliquer la démonstration ce n'est pas trop grave, même si j'aimerais bien comprendre, le plus important est plutôt quand est-ce qu'on choisit l'une ou l'autre ?
Merci de vos réponses et un bon week-end.
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Réponses
Deuxième chose : quand on fait $\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=1}^i$, ça veut dire qu'on fait la somme sur tous les coupes d'indices $(i,j)$ tels que $1\leq j\leq i\leq \infty$ (fais-toi sur une feuille ou dans ta tête, un tableau avec les $i$ comme indices de ligne (allant de $0$ à l'infini) et les $j$ comme indices de colonne et met une croix pour chaque couple $(i,j)$ concerné par la somme). D'accord ?
Troisième chose : au lieu de faire la somme par ligne (on fait la somme pour tous les $j$ cochés sur la ligne $i$, puis on fait la somme pour tous les $i$), tu fais la somme par colonne (d'abord la somme pour tous les $i$ cochés sur la colonne $j$, puis la somme pour tous les $j$). Tu constateras que ça fait $\sum_{j=1}^\infty\sum_{i=j}^\infty$. D'accord ?
Quatrième chose : y a-t-il vraiment besoin d'expliquer pourquoi $\mathrm{Pr}(X\geq j)=\sum_{i=j}^\infty \mathrm{Pr}(X=i)$ ?
la première formule donnant $E(X)$ porte sur tout $x$ appartenant à l'ensemble des valeurs prises par $X$, pas au domaine de définition de $X$
la seconde formule n'est valable que si $X$ prend ses valeurs dans $\N$.
Pour le deuxième :
ça veut dire qu'on fait :
$Pr[X = 1] +$
$Pr[X = 2] + Pr[X = 2] + $
$Pr[X = 3] + Pr[X = 3] + Pr[X = 3] + $
...
$i * Pr[X = i]$
Et donc c'est bien égal à $\sum_{i = 0}^\infty i * Pr[X = i]$
Donc ok oui.
Et pour les deux autres à mon avis je vais trouver, mais je dois m'absenter un moment. Merci beaucoup en tout cas !
Merci à vous deux !!