Inégalité de Chebyshev et de Chernoff
Bonjour,
Je suis relativement débutant en probabilité et j'ai un peu de mal avec l'application des inégalités de Chebyshev et de Chernoff.
Dans un exercice on me demandait de déterminer une valeur maximale que peut prendre une variable aléatoire supérieur ou égale à une certaine valeur. Ici cette valeur était 50, je cherchais donc $P[N \geq 50]$ et pour cela je devait utiliser :
a) l'inéquation de Markov
b) l'inéquation de Chebyshev
c) l'inéquation de Chernoff
La variable aléatoire N a une espérance de 10 et une variance de 100. Pour Markov pas de souci il n'y a qu'à appliquer la formule en remplaçant par les bons nombres et on obtient $P[N \geq 50] \leq 1/5$.
Mais maintenant avec Chebyshev je ne comprends pas comment dégager $P[N \geq 50]$ à partir de $P[|N - 10| \geq 50] \leq 4$
Même chose avec Chernoff, je n'arrive pas à en extraire $P[N \geq 50]$
Merci si quelqu'un arrive à m'aider, je reste à disposition pour toute précision.
Je suis relativement débutant en probabilité et j'ai un peu de mal avec l'application des inégalités de Chebyshev et de Chernoff.
Dans un exercice on me demandait de déterminer une valeur maximale que peut prendre une variable aléatoire supérieur ou égale à une certaine valeur. Ici cette valeur était 50, je cherchais donc $P[N \geq 50]$ et pour cela je devait utiliser :
a) l'inéquation de Markov
b) l'inéquation de Chebyshev
c) l'inéquation de Chernoff
La variable aléatoire N a une espérance de 10 et une variance de 100. Pour Markov pas de souci il n'y a qu'à appliquer la formule en remplaçant par les bons nombres et on obtient $P[N \geq 50] \leq 1/5$.
Mais maintenant avec Chebyshev je ne comprends pas comment dégager $P[N \geq 50]$ à partir de $P[|N - 10| \geq 50] \leq 4$
Même chose avec Chernoff, je n'arrive pas à en extraire $P[N \geq 50]$
Merci si quelqu'un arrive à m'aider, je reste à disposition pour toute précision.
Réponses
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Il suffit de comparer ce que te disent Chebychev et Chernoff à ce que tu veux estimer. L'événement $\{N \geq 50\}$ étant inclus dans l'événement $\{|N-10| \geq 40\}$, tu devrais t'en sortir ;-)
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Alors pour Chebyshev je pense que c'est bon mais j'avoue qu'un peu plus de précision ne serait pas de refus pour Chernoff
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Peux-tu rappeler ton énoncé de l'inégalité de Chernoff ? Il y en a plusieurs.
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Soit $X_1, ... , X_n$ des variables aléatoires indépendantes avec $P[X_i = 1] = p_i$ et $P[X_i = 0] = 1 - p_i$ on a pour $X := \sum_{i = 1}^{n} X_i$ :
(i) $P[X \geq (1+\delta)E[X]] \leq e^{\frac{-1}{3}\delta^2E[X]}$
(ii) $P[X \leq (1-\delta)E[X]] \leq e^{\frac{-1}{2}\delta^2E[X]}$
(iii) $P[X \geq t] \leq 2^{-t}$ pour $t \geq 2eE[X]$ -
Dans ce cas, quelle est la définition de ta variable $N$ ? Il doit y avoir un moyen de relier tout ça à ton énoncé de Chernoff.
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Je vais simplifier un peu les valeurs mais en gros on à un jeu de loto auquel on a une chance sur 1/10 de gagner 5 fois sur les 100 dernier tirage. La variable N est le nombre de personnes à qui l'on doit demander si elle a gagné (5 fois sur les 100 derniers tirages donc) jusqu'à ce que quelqu'un nous réponde oui. C'est un distribution géométrique de paramètre 1/10.
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Pour l'inégalité de Tchebychev, il suffit de remarquer que $N$ est positif.
Donc $N \geq 50$ est équivalent à $|N-10| \geq 40$
Pour Chernoff par contre j'ai du mal à voir le rapport, la loi géométrique n'étant pas vraiment une somme de variables indépendantes (ou alors, pas de façon simple) -
Oui pour Chebychev j'ai fait ça, par contre pour Chernoff je ne comprends pas non plus, c'est même marqué dans mon énoncé que cela ne marche que pour les distributions de Bernouilli Bernoulli.
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