J'ai des problèmes de couples

Quelques précisions sur la suite de l'exercice.

On peut lister les $2n$ conditions de l'énoncé de la manière suivante:

$c_1$: le monsieur numéro $1$ est en première position.
$c_2$: le monsieur numéro $1$ est en deuxième position.
$c_3$: le monsieur numéro $2$ est en deuxième position.
$c_4$: le monsieur numéro $2$ est en troisième position.
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$c_{2n-1}$: le monsieur numéro $n$ est en $n$-ième position.
$c_{2n}$: le monsieur numéro $n$ est en première position.

$\mu(n)$ est le nombre de permutations de $\{1, ..., n\}$ qui ne satisfont pas les $2n$ conditions ci-dessus.
On sait que le nombre de façons d'asseoir $n$ couples en alternant hommes et femmes et en faisant en sorte que personne ne soit assis à côté de sa moitié est: $2n!\mu(n)$.
Pour calculer $\mu(n)$, on applique le principe d'inclusion-exclusion. Il y a $n!$ façons d'installer les messieurs auxquelles il faut retrancher toutes les permutations qui rencontrent les $c_i$ conditions, pour $1 \leq i \leq 2n$.

Aucune permutation ne peut vérifier au moins deux conditions successives.
Ainsi, pour $k$ conditions $i_1, i_2, ..., i_k$ successives:

\begin{equation}
\displaystyle |E_{i_1} \cap E_{i_2} \cap \cdots \cap E_{i_k}|=0
\end{equation}

Si on impose un choix compris entre $n+1$ et $2n$ conditions, il est évident qu'au moins $2$ de ces conditions seront $\textbf{incompatibles}$ et le cardinal de l'intersection sera nul.
Dans le cas où $1 \leq k \leq n$, on a:

\begin{equation}
\displaystyle |E_{i_1} \cap E_{i_2} \cap \cdots \cap E_{i_k}| = (n-k)!
\end{equation}

Car une fois les $k$ images de la permutation fixées, on peut choisir sans contraintes les $(n-k)$ éléments restants. On peut donc réécrire la formule du crible avec un indice $k$ variant entre $1$ et $n$ uniquement.

\begin{equation}
\displaystyle \mu(n)= n! - \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1 < i_2< \cdots <i_k \leq 2n} |E_{i_1} \cap E_{i_2} \cap \cdots \cap E_{i_k}|
\end{equation}

Il reste à connaître le nombre d'ensembles qui ne sont pas de cardinal $0$.
Selon le lemme circulaire, le nombre de manières de choisir $2$ conditions $\textbf{non-consécutives}$ parmi $2n$ est $\displaystyle {{2n-2} \choose 2} \frac{2n}{2n-2}$.
Et pour chacune de ces possibilités, il y a $(n-2)!$ façons de placer les $n-2$ messieurs restants.
Il en est de même pour $3, 4, \cdots k$ choix non-consécutifs.
Ainsi,

\begin{equation}
\displaystyle \mu(n)= n! - \frac{2n}{2n-1}{{2n-1} \choose {1}}(n-1)! + \frac{2n}{2n-2} {{2n-2} \choose {2}}(n-2)!+\frac{2n}{2n-3}{{2n-3} \choose {3}} (n-3)! +...
\end{equation}
...