k-parties d'un ensemble

Bonjour, je fais le même DM que Mia, mais je suis un peu dépassée par les notations et les mots utilisés dans le cours. C'est pire pour les démonstrations, le poly et la correction des TD ne sont pas du tout claires...

On nous demande:
Soit $k \in [1,n]$. Montrer que la famille des $k$-parties de $E$ est une antichaîne de $E$.

Si j'ai bien compris, une famille des $k$ parties ce sont les combinaisons de $k$ éléments parmi $n$. C'est-à-dire $\{1,2\}$, $\{1,3\}$, $\{2,3\}$ si $k=2$ et $n=3$.

Avec un exemple c'est évident que c'est une antichaine, mais comment le démontrer ? Faut-il passer par injection/surjection/bijection? Le cours les utilise dans tous les sens sous forme d'affirmations. Il n'y a pas de définition ou de théorème dans le poly du cours qui peuvent être utilisés dans cette question.

Je n'ai que cela en tête:
Le nombre des parties $A$ à $k$ éléments est ${n\choose k}$: $(A_1 , ... , A_{{n\choose k}}$). Supposons que les parties ne sont pas une antichaine, c'est-à-dire $A_i \subseteq A_j $ pour $i \neq j$. $A_i$ contient $k$ éléments et $A_j$ contient $k$ éléments. Donc $A_i = A_j $, or c'est contraire à ... la définition??? Mais définition de quoi? On n'a rien dans le cours.

Pourriez vous aussi conseiller un manuel de combinatoire ou quelque chose sur internet ? J'ai déjà vu l'exo 7, mais ce n'est pas assez poussé.

@babsgueye , le problème que nous n'avons pas cette définition. Et je suis un peu trop vieille école: si quelque chose n'est pas définie et/ou démontrée, on ne peut pas l'utiliser.

A votre avis, si je démontre de façon suivante:

Soit $k \in [1,n]$. Montrer que la famille des $k$-parties de $E$ est une antichaîne de $E$.

Démonstration:

Raisonnons par l'absurde. Le nombre des parties $A$ à $k$ éléments est ${n\choose k}$: $(A_1 , ... , A_{{n\choose k}}$). Supposons que les parties ne sont pas une antichaine, c'est-à-dire il existe au moins deux parties $A_i$ et $A_j$ tels que $A_i \subseteq A_j $ avec $i \neq j$. Comme on raisonne sur la famille des $k$-parties, $A_i$ contient $k$ éléments et $A_j$ contient $k$ éléments. Donc $A_i \subseteq A_j $ n'est possible que si $A_i = A_j $. Or les ${n\choose k}$ parties sont deux à deux différents par définition. La famille des $k$-parties de $E$ est une antichaîne de $E$.

Est-ce que c'est bon?

Je suis en fin de l'exercice et j'ai la dernière question. Je ne suis pas sure de bien comprendre l'énoncé de la dernière partie, qui est :

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n \geq 1$. Etant donnés un entier $ k \in [n]$ et un ensemble $\cal{A}$ de $k$-parties de $E$, on notera $\delta (\cal{A}) $ l'ensemble des $(k-1)$ - parties de $E$ contenues dans au moins un élément de $\cal{A}$ :
$\delta (\cal{A})$ $ = \{B \in P_{k-1}(E): \exists A \in $ $ \cal{A}$ $, B \subseteq$ $ \cal{A} \}$

Est-ce que $\cal{A}$ est juste une partie de $E$, par exemple $\{1,2,3\}$ avec $n=4$ et $k=3$. Ou $\cal{A}$ peut contenir plusieurs parties par exemple $\{1,2,3\} , \{2,3,4\}$, voir la famille entière de $k$?

Est-ce que $\delta (\cal{A}) $ c'est la partie à $k-1$ éléments des chaines par lesquels passent les éléments de $\cal{A}$? Si on reprend l'exemple plus haut:
\[\cal{A} = \{ \{1,2,3\} , \{2,3,4\} \}\]
\[\delta (\cal{A}) = \{ \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\} \}\]

Cela semble intuitive et évident, mais je préfère d'être sure avant de composer les réponses. Merci à l'avance!

@Math Coss, merci beaucoup! Une fois compris toutes les notations, le devoir est plutôt sympa.