Nombre d'applications d'un ensemble fini

Tu as $4$ choix pour l'image de $a$, $4$ choix pour l'image de $b$, $4$ choix pour l'image de $c$. Chacun de ces choix est indépendant, le nombre de choix total est le produit, ça en fait $4^3$.

Si le cardinal de $E$ vaut $1$ et que le cardinal de $F$ vaut $p$, veux-tu que le nombre d'applications soit $1^p$ ? Ce serait bien étrange, non ? Il y en a visiblement $p=p^1$.

Avec $3$ éléments au départ et $4$ à l'arrivée, le nombre d'injections est plutôt $\mathsf{A}_4^3=4\times3\times2$, non ?

Cela dit, oui, c'est le même raisonnement : $4$ choix pour l'image de $a$, il en reste $3$ pour l'image de $b$ et $2$ pour l'image de $c$. Note que dans les deux cas, pour pouvoir dire qu'on a une preuve, il faudrait justifier que c'est bien un produit qu'il faut faire.

Voici un argument un zeste plus formel que « les choix sont indépendants ». On peut faire un arbre (on a $4$ branches qui partent de la racine, correspondant aux choix de l'image de $a$ ; puis on a $3$ ou $4$ branches qui partent de chacune des branches de premier niveau, une pour chaque image de $b$ ($3$ ou $4$ selon qu'on exige une fonction injective ou pas), etc. Le produit se justifie par le fait que le nombre de sous-arbres attachés à l'image de $a$ ne dépend pas de cette image. Pour un argument formel, il faudrait faire une récurrence et sans doute invoquer le lemme des bergers.

On peut mais c'est plus cher.