Applications et combinatoire

vorobichek
vorobichek
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour,

J'ai un mal fou avec des applications, bijections, injections, surjections. Quand c'est une fonction, j'arrive à voir et comprendre, mais quand ce sont les ensembles.... Il n'y a aucun exemple dans le cours.

Soient $E$ un ensemble de cardinal $3$ et $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$ dans $2=\{0,1\}$.
Donc $E=\{1,2,3\}$ et $\mathcal{P}(E)$ :
$\{\emptyset\}$
$\{1\},\{2\},\{3\}$
$\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$
$\{1,2,3\}$
Je comprends comment les parties sont obtenues. Mais quand on commence à parler des applications, je ne vois pas de lien.
Soit une application $f$: $E$ $\rightarrow$ $\mathcal{P}(E)$. Quel est l'antécédent de $\{1,3\}$ et l'image de $2$ (ou $\{2\}$) ? Et l'antécédent de $\{\emptyset\}$?
Peut-on prendre parties de $E$ dans $4=\{0,1,2,3\}$ ? Ou c'est un autre nom ?

Réponses

  • michael
    michael
    Salut,

    ton message ne me semble pas très clair.
    $\mathcal{P}(E)$ désigne, en général, l'ensemble des parties de $E$. Que veut dire dire "l'ensemble des parties de $E$ dans $2=\{0,1\}$ ? L'ensemble des parties de $E$ incluses en $\{0,1\}$ ? Mais si $E = \{10, 22, A\}$ (ensemble à trois éléments), alors ton $\mathcal{P}(E)$ (qui ne serait donc pas l'ensemble des parties de $E$) est vide. Il n'y a aucune raison que $E = \{1,2,3\}$ si on te dit seulement que $E$ est de cardinal $3$.

    Concernant ta question sur les antécédents/images : l'antécédent de $\{1,3\}$, celui de $\emptyset$ ( et non $\{\emptyset\}$) et l'image de $2$ par l'application $f$ dépendent de la définition de ton application $f$.
    Par exemple, si $f$ est l'application de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$ (ensemble des parties de $E$) qui à tout élément de $E$ associe $\emptyset$ alors $\{1,3\}$ n'a pas d'antécédent par $f$ et tout élément de $E$ est un antécédent de $\emptyset$. L'image de $2$ dans cet exemple est $\emptyset$.

    Je ne comprends pas tes deux dernières questions :
    * il doit certainement manquer un/des mot(s) dans l'avant-dernière (et même en les devinant, je ne comprends pas le sens de ta question)
    * dans la dernière, de quel nom parles-tu ?
  • vorobichek
    vorobichek
    @michael, j'aimerais comprendre la signification de :
    \[f: \; E \; \rightarrow \; \mathcal{P}(E)\]
    Et pouvoir résoudre les exercices qui en découle (l'un des exos que nous avons à rendre est ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1729696.
    Il y a partout la question des applications, bijections, injections, surjections pour les les ensembles et les parties d'ensemble. Dans le cours et les TD, les résultats sont parachutés sans aucune explication et sans exemple. Dans le sujet que j'ai cité je ne comprends pas le message de @GaBuZoMeu. Et à mon avis c'est parce que je n'arrive pas à visualiser les applications en question. Quelqu'un pourrait donner les exemples avec antécédent/image?

    J'ai donné un exemple de $E$ avec le cardinal $3$ et les éléments de $E=\{1,2,3\}$
    Que veut dire dire "l'ensemble des parties de E dans 2={0,1} ?
    Je ne sais pas, d'où ma question. Ce n'est pas la première fois que je vois cette notation. Je l'ai prise dans le sujet voisin.
    Il n'y a aucune raison que E={1,2,3} si on te dit seulement que E est de cardinal 3.
    J'ai donné un exemple dans lequel c'est le cas. En utilisant cet exemple, comment $E$ et $\mathcal{P}(E)$ sont reliés?
    Concernant ta question sur les antécédents/images : l'antécédent de {1,3}, celui de ( et non {}) et l'image de 2 par l'application f dépendent de la définition de ton application f.
    La seule définition de l'application qu'on a est :
    \[f: \; E \; \rightarrow \; \mathcal{P}(E)\]
    Il n'y a rien d'autre, aucune information supplémentaire... d'où ma confusion. Pour moi le passage de $E$ vers $\mathcal{P}(E)$ se fait selon une règle, mais laquelle?
    Par exemple, si f est l'application de E dans P(E) (ensemble des parties de E) qui à tout élément de E associe alors {1,3} n'a pas d'antécédent par f et tout élément de E est un antécédent de . L'image de 2 dans cet exemple est .
    Tu veux dire qu'il y a plusieurs applications de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$? Si je comprends bien, il y a exactement $|\mathcal{P}(E)^{|E|}|$? Dans mon exemple, $|E|=3$, cela sera $|2^3|^3=8^3 =512$ d'applications possibles?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    $f: \; E \; \rightarrow \; \mathcal{P}(E)$ dit simplement que $f$ est une application de l'ensemble $E$ dans l'ensemble des parties de $E$ (des sous-ensembles de l'ensemble $E$). Comme toujours dans ce genre de notation, ça ne dit pas quelle fonction particulière c'est. Et il y en a des tas, puisque on peut choisir, pour chaque élément de $E$, comme image, n'importe quel élément de $\mathcal P(E)$.
    De la même façon, $f: \; [0;1] \; \rightarrow \; \mathbb R$ dit que $f$ est une application de l'ensemble $[0;1]$ dans l'ensemble des réels. Laquelle ? Si ce n'est pas précisé, on ne sait pas (il y en a une infinité).

    Il n'y a donc rien de plus à comprendre dans $f: \; E \; \rightarrow \; \mathcal{P}(E)$ que d'habitude.

    Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Pour un exemple avec ton $E=\{1,2,3\}$, tu peux définir
    $f : x \mapsto \{x\}$
    $g : x\mapsto \{x,x^2 \mod 3\}$
    $h : x\mapsto \emptyset$
    ...
    il y en a $8^3 = 512$ différentes (cours dénombrement).

    Cordialement.
  • michael
    michael
    Deux autres exemples que ceux de gerard0 pour $E = \{1,2,3\}$.

    Exemple 1 :
    $f : E \rightarrow \mathcal{P}(E) = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1.2\},\{1.3\},\{2.3\},E\}$ définie par :
    $1 \mapsto \{2\}$
    $2 \mapsto \{1,3\}$
    $3 \mapsto \{1,3\}$

    L'image de $1$ par $f$ est $\{2\}$
    L'antécédent de $\{2\}$ par $f$ est $1$
    $\{1,3\}$ a deux antécédents qui sont $2$ et $3$.

    Exemple 2 :
    $f : E \rightarrow \mathcal{P}(E)$ définie par :
    $1 \mapsto \emptyset$
    $2 \mapsto E$
    $3 \mapsto \{1,2\}$

    L'image de $1$ par $f$ est $\emptyset$.
    $\{3\}$ n'a pas d'antécédent pas $f$.
    L'unique antécédent de $E$ par $f$ est $2$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @vorobichek
    $\mathcal P(E)$ l'ensemble des parties de $E$ dans $2=\{0,1\}$.
    Est-ce que ce passage qui n'a aucun sens fait référence à
    L'ensemble $\mathcal P(E)$ des parties de $E$ s'identifie à $2^E$, l’ensemble des applications de $E$ dans $2=\{0,1\}$ (à une partie, faire correspondre sa fonction caractéristique).
    Si oui, je veux bien t'expliquer cette phrase que j'avais écrite dans l'autre fil. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1729696,1729714#msg-1729714
    Question subsidiaire : vorobichek = Daryna D. ? (juste pour savoir à qui je parle).

    [Il semble que vorobichek $\neq$ Daryna D. ;-) AD]
  • vorobichek
    vorobichek
    Merci beaucoup à tout le monde pour les exemples, c'est beaucoup plus clair ! C'est presque 100% clair (je laisse le bénéfice de doute) (:P)

    @GaBuZoMeu, si tu peux expliquer, je suis intéressée.

    P.S. non, vorobichek $\neq$ Daryna $\neq$ Mia17. ;-) On est juste ensembles en Licence de maths à distance. Dans certaines matières on potage un peu... trop et comme c'est à distance, on n'a personne à qui poser la question. Certains profs répondent, d'autres non. Pour ma part, ce forum est une aide immense. Je ne sais pas qu'est-ce que j'eusse fait (je fasse? j'aie fait?) sans vous.

    ["j'aurais fait" tout simplement (conditionnel passé 1ère forme) ;-) AD]
  • Poirot
    Poirot
    Vous potagez ou patogez ? (:P)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    À une partie $A$ de l'ensemble $E$, on associe son application caractéristique $\chi_A : E\to \{0,1\}$ définie par $\chi_A(x)=1$ si $x\in A$ et $0$ sinon. C'est une bijection de $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, sur $2^E$, l'ensemble des applications de $E$ dans $2=\{0,1\}$.

    PS. On écrit plutôt "Je ne sais pas ce que j'aurais fait ..." (passé du conditionnel).
    PPs. Tant qu'à faire, il vaut mieux patauger.
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