Somme de combinaisons

Jota · November 2018

Salut, je n'arrive pas à comprendre le résultat suivant. $$

\sum_{j=0}^i \binom{j+n-1} j = \binom{i+ n} i .

$$ Merci d'avance.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas termes à termes. AD]

GaBuZoMeu · November 2018

Tu veux compter le nombre de parties $A$ à $i$ éléments de $\{0,\ldots, i+n-1\}$.
Soit $A$ une telle partie, soit $k$ le premier entier naturel qui n'est pas élément de $A$. Alors $A$ est la réunion de l'ensemble des entiers naturels strictement inférieurs à $k$ et d'une partie à $i-k$ éléments de $\{k+1,\ldots, i+n-1\}$, qui a $(i-k)+n-1$ éléments.

Somme de combinaisons

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