Nombre de triangles
Bonjour à tous
Une question simple qui aura j'espère une réponse simple , personnellement je n'y vois rien .
Un polygone convexe à n sommets avec i points intérieurs est partitionné en triangles ne contenant aucun des i points à l'intérieur .
Le nombre de triangle dépend-il de la partition ?
Merci d'avance pour vos réponses .
Domi
PS : on suppose que trois des points considérés ne sont jamais alignés .
Une question simple qui aura j'espère une réponse simple , personnellement je n'y vois rien .
Un polygone convexe à n sommets avec i points intérieurs est partitionné en triangles ne contenant aucun des i points à l'intérieur .
Le nombre de triangle dépend-il de la partition ?
Merci d'avance pour vos réponses .
Domi
PS : on suppose que trois des points considérés ne sont jamais alignés .
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Réponses
Pour chaque autre point intérieur, ce point est dans un triangle. on divise donc le triangle en question en 3 sous-triangles.
On a donc via cette méthode $n + 2(i-1)$ triangles.
Chaque quadrilatère constitué de 2 triangles peut être découpé d'une autre façon, en remplaçant la diagonale actuelle par l'autre diagonale. Mais ça ne change pas le nombre de triangles.
Je n'ai pas la démonstration, mais j'ai la conviction que le nombre de triangles est fixe, et vaut $n+2(i-1)$
Domi
$$S-A+F=2\;,$$
où
$$\begin{aligned}
S&=n+i\\
A&=n+\frac12(3T-n)\\
F&=T+1
\end{aligned}$$
Domi
Domi
A noter peut-être que $T$ est le nombre de triangles $-1$.
Non, j'ai défini $T$ comme étant le nombre de triangles (sinon, pourquoi l'appeler $T$ ?). Le nombre $F$ de faces est égal à $T+1$.
Bon dimanche
$S=i+n$
$F=T+1$
$2A=3T+n$
$S+F=A+2$
Comme GABUZOMEU.
AJOUT :
On trouve $T=2i+n$ .
Réponse indépendante de la partition.
Tu devrais éditer ton message une fois de plus pour corriger ta solution. (Vérification : $n=3$, $i=0$)
On peut le prouver par récurrence :
On part avec un triangle sans point intérieur.
En rajoutant un point sur le bord que l'on relie au sommet du triangle idoine
on détruit un triangle et on en ajoute deux.
En rajoutant un point intérieur que l'on relie aux sommets du triangle qui le contient
on détruit un triangle et on en ajoute trois.