Nombre de triplets
Bonjour,
J'ai une liste $x_1, x_2, ..., x_{60}$ de 60 éléments dans cet ordre.
Après $x_{60}$, $x_1$ revient et la liste continue (on peut voir cela comme un "rouleau", il n'y a pas de "début" ni de "fin").
Je cherche une formule pour dénombrer le nombre de triplets, où chaque triplet est défini de la façon suivante : Il faut que les trois nombres de la liste se suivent ; par exemple on peut tomber sur le triplet $x_1, x_2, x_3$ ou bien $x_{60}, x_1, x_2$, et ainsi de suite.
Question : combien de triplets différents ? J'ai pensé à 60 mais ne suis pas certaine de ma réponse.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
J'ai une liste $x_1, x_2, ..., x_{60}$ de 60 éléments dans cet ordre.
Après $x_{60}$, $x_1$ revient et la liste continue (on peut voir cela comme un "rouleau", il n'y a pas de "début" ni de "fin").
Je cherche une formule pour dénombrer le nombre de triplets, où chaque triplet est défini de la façon suivante : Il faut que les trois nombres de la liste se suivent ; par exemple on peut tomber sur le triplet $x_1, x_2, x_3$ ou bien $x_{60}, x_1, x_2$, et ainsi de suite.
Question : combien de triplets différents ? J'ai pensé à 60 mais ne suis pas certaine de ma réponse.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
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Réponses
Dois-je comprendre que si ma liste (de base) contient 61 éléments, la réponse sera 61 ?
Mais il peut y avoir des pièges. Les $x_i$, ce sont des nombres. Si par le plus grand des hasards, le triplet $(x_1,x_2, x_3)$ a les mêmes valeurs que le triplet $(x_{11},x_{12},x_{13})$, alors la réponse n'est plus 60 mais 59.
Autre partie : Je tire au hasard un nombre $x_i$ ($i$ est un entier entre 1 et 60). Est-on d'accord que la probabilité d'obtenir $x_i$ (quel que soit son rang dans le triplet) est $3/60$ ?
Comment faire alors pour qu'un $x_i$ particulier ait moins de chance d'apparaître au tirage, sachant que je souhaite qu'il apparaisse deux fois dans la liste ? En "gros", vaut-il mieux les mettre à la suite ou bien de façon dispersée, ou encore ne laisser que trois nombres entre les deux ?
Merci !
Mais il faut préciser le vocabulaire, parce que dans la question suivante, tu donnes un sens un peu différent.
Je vais reprendre ton exemple.
La liste est : 4-4-5-10-10-10-1-14
Je vais modifier les notations : la liste est $4_1 4_2 5_3 10_4 10_5 10_6 1_7 14_8 $
La probabilité d'obtenir $10_4$ est de 3 /60.
La probabilité d'obtenir $10$ est largement supérieure, parce qu'on peut obtenir $10_4$, ou bien $10_5$ ou bien $10_6$ ...
Si parmi tes 60 emplacements tu as 2 fois le nombre 13 par exemple, quelle est la probabilité d'obtenir 13 ?
Option 1, les 2 emplacements qui contiennent les 2 nombres 13 sont suffisament éloignés, et on a la certitude de ne jamais avoir 2 fois le nombre 13 dans un triplet ( au moins 2 intermédiaires entre les 2 nombres 13). Et dans ce cas la proba est de 6/60.
Option 2 : il y a exactement 1 case intermédiaire entre nos 2 nombres 13, par exemple, les 13 sont au positions 35 et 37 ; les triplets qui vont nos donner 13 sont les triplets (33,34,35), (34,35,36), (35,36,37), (36,37,38) et (37,38,39) : probabilité = 5/60.
Option 3 : les 2 nombres 13 se touchent. Et dans ce cas la probabilité de tirer au moins l'un des 2 est de 4/60.
Je vais maintenant plus loin :
Lorsque je tire au sort un nombre $x_i$, j'associe un triplet ; ce triplet peut avoir la forme suivante :
$(x_{i-1}, x_i, x_{i+1})$
$(x_i, x_{i+1}, x_{i+2} )$
$(x_{i-2}, x_{i-1}, x_i)$
Ma question : le choix du triplet alors constitué peut-il avoir une incidence sur la probabilité d'obtenir $x_i$ ou un $x_j$ "proche" ?
- On tire au sort un nombre entre 1 et 60.
- On tire au hasard un 'statut' parmi les 3 options 'Au centre', 'Au début' ou 'A la fin'
Quelle est la loi de probabilité ?
Je mets donc l'accent sur un point : Qund on associe un triplet, on choisit en fait AU HASARD un des 3 triplets contenant le nombre choisi.
Avec ces conventions, tout ce qu'on a dit jusque là reste vrai.
En fait, je peux choisir le statut une fois que le nombre a été tiré au hasard ; je dois choisir l'un des trois statuts.
J'utilise un générateur de nombre aléatoire qui me permet de récupérer un $x_i$. Ensuite je dois choisir quel triplet j'"envoie" à l'utilisateur.
Choisir, ça veut dire Critère de choix. Par exemple, tu as le choix entre les triplets (13,17,33),(17,33,19) et (33,19,24) Tu vas choisir quel triplet ?
Imaginons que ton critère de choix, c'est : Si possible, ne pas avoir le nombre 13 dans le triplet sélectionné. Dans ce cas, effectivement, tu peux 'influencer le hasard'.
Si on a 2 fois le nombre 13 sur le tableau, selon la disposition de ces 2 nombres sur le tableau, la probabilité va varier. Proba =2/60, c'est la minimum, et c'est le cas le plus fréquent.
Il y a quelques dispositions pour lesquelles la probabilité monte à 3/60, quand il y a exactement 1 case autre entre les 2 nombres 13. Et la probabilité monte même à 4/60 quand il y a 2 cases autres entre les 2 nombres 13.
Une fois choisi, l"envoi" du triplet ne peut pas changer.
Ce qui signifie que, si je tire au hasard $x_i$ et si je décide d'envoyer à l'utilisateur $(x_i, x_{i+1}, x_{i+2})$, cela ne pourra pas être changé. Le processus se répète indéfiniment.
Pour faire claire, imaginons que j'ai deux nombres 13 dans ma liste des 60 nombres, séparés par TROIS nombres égaux (la suite fait 13,5,5,5,13).
Le choix du triplet envoyé influence-t-il la probabilité d'obtenir 13 ?