Problème de distribution d'objects 3 méthodes

tartuffex
tartuffex
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour.
vous trouverez le problème en pièce jointe.

Réponses

  • tartuffex
    tartuffex
    Bonjour
    je me suis apparemment trompé de groupe de discussion. J'espère être dans le bon ici.
    Vous trouverez en annexe ma question.
    Merci.

    [Non, tu es dans la bonne rubrique. Mais laisse le temps aux volontaires pour te répondre.
    D'autre part, devoir ouvrir un fichier annexe n'est pas particulièrement alléchant. AD]
  • tartuffex
    tartuffex
    D'accord, mais le niveau de réponse dans ce groupe est beaucoup plus faible que dans celui d'algèbre. De plus, s'agissant en partie de polynôme, le groupe d'algèbre ne me semble pas incongru.
    Quant à l'annexe, je ne sais pas comment utiliser les symbôles mathématiques (somme, fractions ...), d'où cette façon de faire ...
  • Math Coss
    Math Coss
    Tu fais deux calculs qui te convainquent. Tu en fais un troisième qui donne un résultat différent : il est donc probablement faux. Quoi qu'il en soit, il n'est pas justifié : d'où sort cette série génératrice (qui est un polynôme) et surtout, quel rapport a-t-elle avec le problème ?
  • tartuffex
    tartuffex
    La méthode marche quand les objets (désolé pour la faute d'orthographe dans l'annexe) sont indiscernables. Elle doit marcher ici aussi. Le principe est de développer une série génératrice de la suite des nombres de solutions de l'équation a + b = 3 ce qui en fait un polynôme. La solution est alors fournie par le coefficient du 3è degré.
  • gerard0
    gerard0
    Donc manifestement, ce n'est pas la bonne série génératrice.
  • Math Coss
    Math Coss
    « La méthode », « les objets ». C'est bien vague, tout ça.
  • tartuffex
    tartuffex
    Non (Gerard), et comme les calculs de développement sont à mon avis exacts, c'est le début qui cloche. Pourtant, vu que chaque objet est unique, on ne peut le donner que d'une façon, donc (1+x)(1+x)(1+x) pour les 3 objets et vu qu'il y a deux personnes, (1+x)(1+x)(1+x)².
    Quequ'un a une idée?
  • tartuffex
    tartuffex
    Je veux dire ((1+x)(1+x)(1+x))²
  • Math Coss
    Math Coss
    Une idée simple : fais des phrases pour essayer de justifier l'apparition ex nihilo de cette fonction génératrice visiblement fausse.
  • depasse
    depasse
    Bonjour,

    Bien sûr d'accord avec les remarques de Gérard et Math-Coss.

    Vu que tu as su dénombrer, par ta première "méthode", de combien de façons tu peux répartir trois "objets distincts" entre deux individus, tu devrais trouver de combien de façons tu peux répartir zéro, un, deux, trois (c'est fait), quatre "objets distincts" entre deux individus, et peut-être alors deviner, au regard de ces premiers résultats, de combien de façons tu peux répartir cinq, six, ....,n,... "objets distincts" entre deux individus. Si tu as bien deviné, tu as ta fonction génératrice sur un plateau et tu peux te persuader qu'elle n'a guère de rapport avec ce que tu as proposé.
    Tu vas trouver $a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+....+a_nx^n+.....$ où $a_n$ est le nombre de façons de répartir n"objets distincts" entre deux individus et, si tu ne t'es pas gourré dans les $a_n$, lui trouver quelque ressemblance avec la série $1+y+y^2+y^3+....+y^n...$.

    Mes compétences s'arrêtent là!
  • Math Coss
    Math Coss
    En réponse à cette question, pour définir une série génératrice, il faut une suite et donc un paramètre.

    Comment coder une répartition de $n$ objets entre $2$ personnes $A$ et $B$ ? Visiblement, il suffit de savoir ce que l'on donne à $A$, ce qui détermine une partie de l'ensemble des objets ; ce que l'on donne à $B$ est le complémentaire de ce que l'on donne à $A$. Il y a donc autant de répartitions que de parties d'un objet à $n$ éléments, si bien que le nombre de répartitions est $a_n=2^n$. On forme la série génératrice : \[f(x)=\sum_{n\ge0}a_nx^n=\sum_{n\ge0}2^nx^n=\frac1{1-2x}\] qui a un rayon de convergence égal à $1/2$.
  • tartuffex
    tartuffex
    ta formule donnera 1 + 2x + 4x² + 8x³ + ...
    les coëfficënts donnant le nombre de manières d'avoir un nombre de livres qui est donné par le degré du terme, on aurait 8 façons de donner exactement 3 livres à 1 personne ...

    la solution est finalement plus simple: (1+x)(1+x)(1+x) = 1+3x+3x²+x³
    il faut additionner les coëfficiënts qui donnent ne nombre de façons d'avoir 0, 1, 2 et 3 livres: 1+3+3+1 = 8
    j'ai retiré le carré car si A reçoit 0 d'un des livres, B le reçoit automatiquement.
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