Somme de coefficients binomiaux
Bonjour à tous,
En faisant quelques calculs, je suis tombé sur la somme suivante :
Cela vous inspire-t-il quelque chose ?
En faisant quelques calculs, je suis tombé sur la somme suivante :
$\displaystyle \mathcal{S}_n = \sum\limits_{i=0}^{n-3} \sum\limits_{j=i}^{n-1} \left( \begin{array}{c} j \\ i \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j-i \\ 2 \end{array} \right)$.
Du coup, je me demande s'il y a moyen de l'exprimer de manière "plus simple" ; disons sans signe $\sum$, uniquement avec les opérations algébriques de base.Cela vous inspire-t-il quelque chose ?
Réponses
-
Merci pour le lien ! Il y a même une référence contenant une réponse à la question que je me posais initialement...
-
Bonjour,
Voici une justification, très probablement superflue, de la formule donnée par Mathcoss, qui repose sur des calculs très classiques.
$ \begin {align*}\forall n \in \N \:\text {tel que}\: n\geqslant3,\quad 2S_{n+1} &= \displaystyle 2\sum_{0\leqslant i,j \leqslant n} \binom ji \binom {j-i}2\\ & = \sum_{0\leqslant i,j \leqslant n} \binom ji \Big(j(j-1)-2i(j-1) +i(i-1)\Big )\\&= \sum_{j=0}^n j(j-1)\sum_{i=0}^j \binom ji -\sum _{j=0}^n 2(j-1) \sum _{i=0} ^j i \binom ji + \sum_{j=0}^n \sum _{i=0} ^j i(i-1) \binom ji .\end{align*}$
Avec les égalités $\quad\displaystyle \sum _{i=0}^j \binom ji = 2^j,\quad \sum_{i=0}^j i \binom ji = j\:2^{j-1}, \quad \sum_{i=0}^j i(i-1)\binom ji = j(j-1)\:2^{j-2},\:\:\:$et en exprimant de deux manières la dérivée seconde de $x\mapsto \dfrac {1-x^{n+1}}{1-x} ,\:\:$on obtient: $\:\:2S_{n+1} = \displaystyle \sum _{j=0}^n j(j-1)\:2^{j-2} = 2(2^{n+1} -1) -2 (n+1) 2^n+n(n+1) 2^{n-1}.$
$$\boxed{ S_n = 2^{n-3} (n^2-5n +8)-1.}$$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres