Solutions entières de $x_1+x_2+\cdots+x_p=n$

En effet il faut fixer le nombre de $+$ à deux.
L’écriture commençant par un $+$ est une solution qui commence par $0+...$.
De même, le $0$ peut intervenir entre deux $+$ ou à la fin, derrière un $+$ qui termine le mot.
Enfin, il faut que le nombre de $1$ soit égal à dix.

De manière savante ça revient à écrire les termes en base « un », sauf les zéros qui sont, comme décrit plus haut, représentés par l’absence de symbole.

J’espère n’avoir rien oublié.

Je n’ai pas réussi à la regarder (connexion pourrie).

Dans ce cas en effet il faut « cadrer » les sommes et les obliger de commencer et finir par $1$.
Interdire aussi les $++$.

Vu ton explicatin, l'idée est juste. Si aucun $1$ précéde un $+$ alors c'est un zéro là $++=0+0+$. Les nombres sont dans $\mathbb{N}$.

Edit, je n'ai pas vu les autres posts.

Remplacer les + par des 0 et considérez les mots formés de 0 et de 1. Ça vous évitera de vouloir faire des additions et donc de vous poser des questions qui vous créent plus de problèmes qu'elles n'en résolvent.

Salut Rietveld,

a) dénombrement des applications strictement croissantes de [1, p] dans [1, n] :
ces applications sont en correspondance bijective avec leur image. Il y en a donc autant que de parties de [1, n] à p éléments, soit

C_n^p = n!/(p!(n-p)!)

b) dénombrement des applications croissantes de [1, p] dans [1, n] :
une telle application f est en correspondance bijective avec l'application strictement croissante g de [1, p] dans [1, n+p-1] définie par g(i) = f(i)+i-1.

Il y en a donc C^p_n+p-1

c) dénombrement des combinaisons sans répétition de n objets pris p à p :
ce sont les suites de p termes distincts d'éléments de [1, n] sans tenir compte de l'ordre, autrement dit les classes d'équivalence de A / ~, où A est l'ensemble des injections de [1, p] dans [1, n] et f ~ g la relation d'équivalence sur A définie par im f = im g. Ces classes s'identifient aux parties à p éléments de [1, n] et sont donc au nombre de

C_n^p.

d) dénombrement des combinaisons avec répétition de n objets pris p à p :
ce sont les suites de p termes d'éléments de [1, n] sans tenir compte de l'ordre, autrement dit les classes d'équivalence de F / ~, où F est l'ensemble des applications de [1, p] dans [1, n] et f ~ g la relation d'équivalence sur F définie par $\varphi$(f) = $\varphi$(g), avec $\varphi$(f) = ( card f ^-1(i) ) _i pour i de 1 à n.
On voit donc que ces classes s'identifient aux n-uples (x₁, x₂, .. x_n) solutions en entiers naturels de l'équation x₁+ .. +x_n = p.
On remarque aussi que chaque classe contient une unique application de F qui soit croissante, que l'on peut donc prendre comme représentant de la classe. Ainsi, il y a autant de combinaisons avec répétition de n objets pris p à p (et de solutions de l'équation précédente) que d'applications croissantes de [1, p] dans [1,n], soit

K_n^p = C^p_n+p-1

Par exemple, la solution
2 + 0 + 2 + 2 +1 = 7 (x₁ à x₅)
correspond à la combinaison avec répétition des chiffres 1 à 5 :

1133445

Concernant l'équation, on peut aussi définir y₁ = x₁+1, y₂ = x₁ + x₂+1, ... y_n = p+1.
Les x₁, x₂, .. x_n sont en correspondance bijective avec les y₁, y₂, ... y_n-1 croissants dans [1, p+1], et les solutions sont au nombre de

K_p+1^n-1

et l'on retrouve bien le même nombre puisque

K_p+1^n-1 = C^n-1_n+p-1 = K_n^p

Finalement, on peut aussi choisir n-1 séparateurs parmi p+n-1 cases, et prendre comme valeurs des x_i le nombre de cases entre deux séparateurs contigus et l'on obtient directement C^n-1_p+n-1