Somme de coefficients binomiaux
Bonjour,
Cela fait quelques jours que je bataille sur l’égalité $$\sum\limits_{i + j = n} {\binom{2i}{i} \times \binom{2j}{j}} = 2^{2n},$$ (où $n$ est un entier naturel) sans succès.
Même par récurrence je n’y arrive pas.
Enfin, plus généralement, est-il possible de calculer la somme $$\sum\limits_{i_1 + i_2 + \cdots+ i_p = n} {\binom{2i_1}{i_1} \times \binom{2i_2}{i_2}} \times\cdots \times \binom{2i_p}{i_p},$$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels ?
Merci pour votre aide.
Cela fait quelques jours que je bataille sur l’égalité $$\sum\limits_{i + j = n} {\binom{2i}{i} \times \binom{2j}{j}} = 2^{2n},$$ (où $n$ est un entier naturel) sans succès.
Même par récurrence je n’y arrive pas.
Enfin, plus généralement, est-il possible de calculer la somme $$\sum\limits_{i_1 + i_2 + \cdots+ i_p = n} {\binom{2i_1}{i_1} \times \binom{2i_2}{i_2}} \times\cdots \times \binom{2i_p}{i_p},$$ où $n$ et $p$ sont des entiers naturels ?
Merci pour votre aide.
Réponses
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Connais-tu la notion de série génératrice ?
Sans ça, ce n'est pas très simple. On a eu une discussion sur un problème comparable cet été. -
Bonsoir,
Très peu, mais je suis preneur quand même. -
Il y a ces messages : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1627508,1627508#msg-1627508
-
Ta première égalité se réécrit
$$\sum\limits_{i + j = n} \frac{\binom{2i}{i}}{2^{2i}} \times \frac{\binom{2j}{j}}{2^{2j}} = 1,$$
Il suffit donc de montrer que $f(x)^2=\sum_{n=0}^{+\infty} x^n$, avec
$f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{\binom{2i}{i}}{2^{2i}}x^i$, puisque le produit des fonctions correspond à la convolution des suites.
Ca peut se faire en résolvant une équation différentielle vérifiée par $f$. -
Merci pour vos indications; j'ai la réponse à chacune de mes questions.
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Bonjour!
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