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Démonstration combinatoire de la formule de X

Envoyé par lesmathspointclaires 
Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
Avec X=Dixon (merci à jandri pour cette évaluation^^)

D'après mon ami B.R il n'existe pas de preuve combinatoire connue, et je vais en donner une tentative, je le fais ici car je n'ai pas de latex sur mon new pc et aussi pour crâner.

La formule de Dixon [notons-la (*) ] est : pour tout $n$ entier plus grand que $1$ $$
\sum_{0\leq k\leq2n}((-1)^k C_{2n}^k)^3=\frac{(-1)^n(3n)!}{(n!)^3}.

$$On voit que le membre de droite vaut $C_{3n}^n.C_{2n}^n:=|B_n|$ où $B_n$ l'ensemble des $(a,b,c)$-mots de longueur $3n$ tel que chaque lettre y a $n$ occurrences.

On montre facilement que la formule (*) de $X$ est équivalente à (***)
$\big((a-b)(b-c)(c-a)\big)^{2n}=(-1)^n(a^2+b^2+c^2)^{3n}$ dans $\mathbb Z[a,b,c]/I$

où $I$ est engendré par les puissances $(2n+1)$-ième de $a$, $b$ et $c$

Le premier terme s'obtient en développant la formule du binôme et le second est clairement $|B_n|$. (je rappelle qu'on est modulo $I$, et que les termes avec plus de $2n+1$ fois la même lettre valent 0) :



[voir le détail de la preuve de l'équivalence entre (*) et (***) dans le post numéro 3, le post suivant, quant à lui, termine la démonstration]



Edité 9 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par lesmathspointclaires.
Re: Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
je me suis emmêlé les pinceaux en voulant simplifier la demo

je recommencerai plus tard



Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par lesmathspointclaires.
Re: Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
L'égalité à démontrer s'appelle l'identité de Dixon mais il y a deux erreurs dans son écriture : il manque un $(-1)^k$ et $k$ doit varier de $0$ à $2n$.
Re: Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
Merci jandri, je viens de corriger!


Appendice : détail de l'équivalence entre (*) et (***)

On a déjà montré que le membre de droite de (*) est $|B_n|$ et il est immédiat que c'est aussi le nombre de facteurs de $(a^2+b^2+c^2)^{3n}$ égaux à $a^{2n}b^{2n}c^{2n}$ (les autres facteurs sont en effet une lettre dont la puissance dépasse $2n+1$ et sont donc nuls modulo $I$.)

Pour l’égalité entre le membre de gauche de (*) et de celui du nombre de facteur de (***) on remarque que le membre de gauche de (***) vaut :

$(\sum_{0\leq k\leq 2n} C_{2n}^k a^{2n-k}(-b)^{k})(\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k b^{2n-k}(-c)^{k})(\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k c^{2n-k}(-a)^{k})$

$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} C_{2n}^r.a^{2n-r}.(-b)^{r}.C_{2n}^p.b^{2n-p}.(-c)^{p}.C_{2n}^q.c^{2n-q}.(-a)^{q}$
$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} C_{2n}^r.C_{2n}^p.C_{2n}^q.a^{2n-r}.(-b)^{r}.b^{2n-p}.(-c)^{p}.c^{2n-q}.(-a)^{q} $
$=\sum_{r,p,q\in [0,2n]} (-1)^{r+p+q} C_{2n}^r.C_{2n}^p.C_{2n}^q. a^{2n+(q-r)}.b^{2n+(r-p)}.c^{2n+(p-q)}$

Or, l'un au moins des nombre $(q-r)$, $(r-p)$ ou $(p-q)$ est strictement positif dès lors qu'il ne sont pas tous égaux, et donc modulo $I$, le membre de gauche de (***) vaut :

$=(abc)^{2n}\sum_{r\in [0,2n]} (-1)^{r} (C_{2n}^r)^3$


on a donc bien :

formule de Dixon <=> (***)



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
Par contre, contrairement à ce qu'on m'a dit, il existe depuis 1990 une preuve élémentaire et courte de Ekhad (voir dans la biblio du lien donné par jandri)
Re: Démonstration combinatoire de la formule de X
il y a quatre mois
Remarque amusante :

Une démonstration analogue (quoique plus facile, car on ne s'embête pas avec les signes) montre que

$\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k)^3=(8+2)^n|P_n|$

Si bien que $\sum_{0\leq k\leq 2n} (-1)^k(C_{2n}^k)^3/\sum_{0\leq k\leq 2n} (C_{2n}^k)^3=(-3/5)^n$

...qui l'eût cru?


nimp



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
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