Cardinal d'ensemble
Bonsoir,
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode pour calculer le cardinal de l'ensemble suivant ? Je voulais utiliser les coefficients binomiaux mais je n'arrive pas à exprimer la condition de l'ensemble avec, je suppose qu'il s'agit d'une méthode différente.
Merci d'avance et bonne soirée
Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la méthode pour calculer le cardinal de l'ensemble suivant ? Je voulais utiliser les coefficients binomiaux mais je n'arrive pas à exprimer la condition de l'ensemble avec, je suppose qu'il s'agit d'une méthode différente.
Merci d'avance et bonne soirée
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Réponses
$23898$
Cordialement,
Rescassol
Si tu notes $N_{n,k}$ le nombre de façon d'obtenir k avec n nombres.
Tu raisonnes par récurrence.
Pour obtenir 13 avec 7 nombres, tu as 2 grosses possibilités :
Soit il existe un des $k_i$ qui vaut 0 donc en fait tu dois dénombrer le nombre de façons d'obtenir 13 avec 6 nombres.
Soit tous les entiers sont strictement plus grands que 0 donc si tu enlèves 1 à chacun, le nombre de possibilités est le même que le nombre de façons d'obtenir 13-7 = 6 avec 7 nombres
Tu as donc une récurrence style
$N_{n,k} = N_{n-1,k} + N_{n,k-n}$
À partir d'une décomposition $k_1+\cdots+k_7=13$, tu écris $k_1$ bulles $\bullet$, puis $k_2$ bulles, etc. Pour séparer les paquets tu mets un séparateur $\mid$. Par exemple, si $(k_1,\dots,k_7)=(1,3,3,0,0,4,2)$, tu écris \[\bullet\mid\bullet\bullet\bullet\mid\bullet\bullet\bullet\mid\mid\mid\bullet\bullet\bullet\bullet\mid\bullet\bullet\]À partir d'un tel « mot » avec deux « lettres » $\bullet$ et $\mid$, on retrouve facilement la décomposition : le nombre de bulles consécutives avant le $j$-ème séparateur est $k_j$.
Comme il y a sept termes, il y a $6$ séparateurs en plus des $13$ bulles. La position des $6$ séparateurs dans les $13+6$ symboles suffit à reconstruire le mot et donc la décomposition. Il y en a donc...
Tiens, je ne trouve pas pareil que Rescassol !
Je regarderai plus mathématiquement demain.
Cordialement,
Rescassol
bref en faisant une recherche j'ai trouvé que Python a le module itertools exprès pour ce genre de trucs :
j'obtiens 27'132.
D'accord mon programme est bourrin car écrit en trois minutes, mais je ne vois pas pourquoi il serait faux.
Il doit y avoir des divergences de compréhension de l'énoncé.
Cordialement,
Rescassol
Ah ! Avec "range(14)", ça fait bien $27132$. Le problème était donc bien là.
J'en était resté avec l'analogie avec des dés et mal interprété le $7$.
Cordialement,
Rescassol
Bah, il y a des jours où on a envie de réfléchir et d'autres non ...
Voilà avec une fonction récursive: qui redonne bien $27132$.
Cordialement,
Rescassol