Arrangement d'objets partiellement distincts

arc999 · July 2020

Bonjour,
J'ai un problème d'analyse combinatoire: nous plaçons dans un seau deux balles rouges, deux balles vertes et deux balles bleus. Il n'est permis de retirer du seau que deux balles. En procédant en un tirage à l'aveugle sans remise quelles sont les combinaisons possibles? L'ordre est important.

Avec un tableau c'est facile à résoudre, mais le résultat ne correspond pas aux résultats obtenus en utilisant une des formules de l'arrangement. Quelle formule je dois utiliser svp?
Avec un tableau le résultat est de 9 combinaisons.
Merci à celui ou celle qui m'aidera.

Rescassol · July 2020

Bonjour,

$\{RR,VV,BB,RV,VB,RB,VR,BV,BR \}$, donc $9$, avec ordre ?
Ou encore $A_3^1+A_3^2=3+6=9$.

Cordialement,

Rescassol

arc999 · July 2020

Merci! Comment écrire cette formule de manière brute?

Rescassol · July 2020

Bonjour,

"Brute" ?

Une couleur parmi $3$ ou $2$ couleurs parmi $3$.

Cordialement,

Rescassol

arc999 · July 2020

D'accord! Et dans le cas où nous aurions plutôt: 2 balles rouges, 2 balles vertes mais seulement 1 balle blue, comment calculer?

Rescassol · July 2020

Bonjour,

On enlève $BB$, donc plus que $8$.
Ou alors $A_2^1+A_3^2=2+6=8$.

Cordialement,

Rescassol

arc999 · July 2020

Merci!

arc999 · August 2020

Bonjour,
Permettez-moi de revenir sur ce sujet.
Je n'arrive pas à appliquer cette méthode à d'autres cas. Par exemple si j'ai plutôt un ensemble {R,R,R,V,V,V,B,B,B} ou {R,R,R,V,V,V,B,B}. "Manuellement"(sans formule) je trouve dans le premier cas 27 arrangements et dans le second cas 26 arrangements. Mais quelle "formule générale" utiliser?
Cordialement.

arc999 · August 2020

J'oublie de préciser, de me deux derniers exemples les balles sont prises par groupe de 3

Rescassol · August 2020

Bonjour,

$A_3^1+A_3^2\times A_3^1+A_3^2=3+6\times 3+6=27$.
Puis:
$A_2^1+A_3^2\times A_3^1+A_3^2=2+6\times 3+6=26$.
Je te laisse voir pourquoi.

Cordialement,

Rescassol

arc999 · August 2020

Merci,
Malheureusement je n'arrive pas à voir le pourquoi. Une explication je vous prie.

babsgueye · August 2020

Salut @Rescassol,
je ne vois pas dans tes deux dernières formules, le $A_3^2$ que tu ajoutes, c'est quoi ?
Merci.

Rescassol · August 2020

Bonsoir,

C'est une faute de frappe, Babsgueye, $3$ couleurs parmi $3$ dans l'ordre, donc $A_3^3=6$.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye · August 2020

Merci.
Mais je pense, si je comprends ton raisonnement, que ce nombre est dans le deuxième terme. J'ajouterais plutôt $2\times A_3^1$, pour plus de logique et d'harmonie.

Cordialement.

Rescassol · August 2020

Bonjour,

Pour le deuxième terme, $A_3^2=6$ pour $2$ couleurs parmi $3$ et $A_3^1=3$ pour $1$ position parmi $3$.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye · August 2020

C'est ce que j'ai compris. C'est pourquoi je dis que dans ce terme tu as le $A_3^3$ que tu ajoutes à la fin.

Cordialement.

Rescassol · August 2020

Bonsoir,

Ben non, les tirages tricolores ne sont pas comptés dans les tirages bicolores.

Cordialement,

Rescassol

babsgueye · August 2020

Et pour toi , le deuxième terme, celui que tu viens d'expliquer dans ton dernier post, c'est que des tirages bicolores ! Je ne le vois pas comme ça.

Rescassol · August 2020

Bonsoir,

$A_3^2=6$ pour choisir $2$ couleurs parmi $3$ dans l'ordre, la première pour le singleton ( ex $R$) et la deuxième pour le double (ex $V$), ce qui ne laisse comme choix que ${RVV, VRV,VVR}$.
Ensuite $A_3^1=3$ pour choisir la position du singleton ($R$ dans l'exemple).
En tout, ça donne $A_3^2\times A_3^1=18$ tirages bicolores possibles.
Je ne dis pas qu'on ne peut pas faire autrement, mais cette façon de faire est correcte.
Il reste le premier terme, $A_3^1=3$, pour les tirages monocolores ($1$ couleur parmi $3$) et le dernier terme, $A_3^3=6$ pour les tirages tricolores ($3$ couleur parmi $3$) .

Cordialement,

Rescassol

PetitLutinMalicieux · August 2020

Bonjour.

Le dénombrement, c'est justement compter de façon industrielle et non à la main. Ici, vous maquillez votre comptage à la main en comptage industriel. Admettez qu'il n'y a pas de formule et vous gagnerez du temps.

À un rang donné, on ne sait pas s'il y a encore des boules disponibles d'une certaine couleur.

Rescassol · August 2020

Bonsoir,

Arc999, je te prierai de me poser les questions mathématiques ici et non en MP.

PLM, je ne sais pas à qui tu parles ni où tu veux en venir.

Cordialement,

Rescassol

arc999 · April 2021

Bonjour,
Permettez-moi de revenir sur cette vieille question que j'avais posée dans le groupe. J'ai essayé de généraliser le problème comme ceci :
Il existe un ensemble A de "n" éléments tel que A={x1+x2+...+xn}. Cet ensemble contient "mi" sous-ensembles d'éléments identiques ayant chacun une quantité "pj" quelconque d'éléments. Quelles sont les nombres d'arrangements et de combinaisons possibles de "y" éléments pris dans cet ensemble ? (Tirage sans remise)

Je me demande si PLM n'avait pas raison en disant qu'il n'y a pas de formules.

S'il y a une formule "générale" prière de me la montrer, en espérant avoir correctement formulé le problème.
Je vous remercie d'avance.

PetitLutinMalicieux · April 2021

Pour commencer, une grosse banalité : si tu tires "y" boules parmi "n", tu as, quelles que soient les couleurs des boules,

$A_n^y$ cas possibles (avec un tirage dans l'ordre)
$C_n^y$ cas possibles (avec un tirage sans ordre)

Si tu veux dénombrer une palette particulière, il faut donner cette palette dans l'énoncé, c'est-à-dire la quantité par couleur. Le seul "y" ne suffit pas.

De plus, ces "palettes" sont nécessairement disjointes. On ne peut pas avoir 3 rouges et 2 rouges simultanément. Donc, d'un point de vue dénombrement, tu vas faire l'addition de calculs séparés.

Arrangement d'objets partiellement distincts

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