Un dénombrement (probas)

J'essaie d'expliquer un truc pour compenser un polycop de probas qui dit en gros "pour la combinatoire, débrouillez-vous tous seuls". La situation est la suivante : une urne contient $N$ boules, $m$ rouges et $N-m$ vertes. On tire $n$ boules avec remise dans l'urne, et on veut savoir combien de tirages avec exactement $k$ boules rouges sont possibles.

On est censé trouver $\displaystyle \binom{n}{k}m^k(N-m)^{n-k}$.

Alors.

D'abord, on veut choisir $k$ boules rouges parmi les $m$, ce qui revient à choisir une application $\{1,...,k\} \longrightarrow \{1,...,m\}$. Notons $A$ l'ensemble de ces applications, alors $\text{Card}(A)=m^k$.

Ensuite, pareil, on veut choisir $n-k$ boules vertes parmi les $N-m$, ce qui revient à choisir une application $\{1,...,n-k\} \longrightarrow \{1,...,N-m\}$. Notons $B$ l'ensemble de ces applications, alors $\text{Card}(B)=(N-m)^{n-k}$.

Pour choisir les boules qui iront dans mon $n$-uplet, il faut que je choisisse une application dans $A$ et une dans $B$, ce qui revient à choisir un élément de $A \times B$, donc j'ai $m^k(N-m)^{n-k}$ choix possibles. On n'est pas loin de la formule, c'est bon signe.

Pour finir, il faut choisir les positions des boules dans le $n$-uplet. Pour moi, on devrait avoir $n!$ façons de faire ça. C'est là que mon résultat s'éloigne du poly, donc au moins l'un parmi le prof qui a écrit le poly et moi dit quelque chose de faux.

La première boule rouge de mon $k$-uplet de boules rouges, j'ai $n$ choix. La deuxième, j'ai $n-1$ choix, etc. A la fin, ça me donnera $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ façons de positionner mes $k$ boules rouges dans mon $n$-uplet. La première boule verte, j'ai $n-k$ choix. La deuxième, j'ai $n-k-1$ choix, etc. Au final, j'aurai $(n-k)!$ choix pour placer mes boules vertes. Encore une fois, on est dans une situation de produit cartésien, donc je trouve $\dfrac{n!}{(n-k)!} \times (n-k)! = n!$ façons de positionner les boules dans le $n$-uplet. Je retombe sur mes pattes, mais pas sur celles du poly.

Où est l'erreur ?

EDIT : C'est forcément moi qui dis un truc faux, puisque le poly utilise cette expérience pour "construire" la loi Binomiale. Mais dans la dernière étape, je ne comprends pas ce que je fais de faux !