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Notation coefficients binomiaux

Envoyé par malavita 
Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Bonjour,
de mon temps le coefficient binomial était noté $C_n^p$ et le nombre de $p$-listes d'un ensemble à $n$ éléments $A_n^p$.
Actuellement, on utilise pour les coefficients binomiaux la notation $\binom{n}{p}$.
Y a-t-il une notation "standard" pour le nombre de $p$-listes ?
Bonne journée.
F.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Notation coefficients binomiaux.
il y a six mois
Heu ... tu ne confondrais pas p-listes et arrangements ? Le nombre de p-listes n'a pas besoin d'être nommé, l'expression $n^p$ est suffisamment courte.
Je ne connais pas d'autre notation pour le nombre d'arrangements de n objets p à p.

Cordialement.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Bonjour,

possible....une $p$-liste peut contenir plusieurs fois le même élément, mais pas un p-arrangement, c'est ça ?

Bonne soirée

F.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Oui, c'est un vocabulaire classique. Une p-liste est une suite finie à p éléments.
"Euh ... sur une liste de commissions, il n'y a pas deux fois le même produit" Sur les miennes, si ! Quand elle devient longue, ça arrive de marquer 2 fois "pain".

Cordialement.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Bonjour

pas d'ordre et pas répétition --> combinaison --> $C_n^p$
ordre et pas répétition --> arrangement --> $A_n^p$
ordre et répétition --> p-liste --> $L_n^p$ (inusité)

Je crois que la notation verticale de la combinaison est la notation anglaise. Effectivement, elle se propage. Personnellement, je préfère le bon vieux "C". Beaucoup plus explicite que cette fausse matrice.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Tout pareil que PetitLutinMalicieux.
Cette notation anglaise est une horreur.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Moi, je l'aime bien la notation anglophone !
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Bonsoir.

Pourquoi a-t-on (un 'on' qui ne vise personne et tout le monde à la fois, moi y compris) laissé se développer la notation anglophone ?

A priori, elle est plus compliquée à former que la notation $C_n^p$ et n'a pas le bon goût de pouvoir s'écrire en notation fonctionnelle comme $C(n, p)$ sans ambiguïté.

A bientôt.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Je suis définitivement pro $\binom{n}{p}$ car $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

J'ai peine à y voir un anglicisme: Alain Comtet utilisait déjà les $\binom{n}{p}$ dans les années 1970.

Pour moi, les $C_n^p$ et les $A_n^p$ sont surtout liés à une période de l'enseignement secondaire où on prétendait être capable d'enseigner le dénombrement, chose dont j'ai toujours douté.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Ça aurait été plus logique si on avait eu $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!}$. grinning smiley

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
JLT
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Aléa: pourquoi serait-on moins capable d'enseigner le dénombrement que l'arithmétique ou la géométrie par exemple ?
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Une preuve de dénombrement considérée comme agréable à lire n'en est généralement pas une.
Si on sort des cas bien encadrés par des théorèmes, une preuve de dénombrement écrite en langage naturel revient le plus souvent, si on la formalise, à exhiber une application d'un ensemble produit vers l'ensemble que l'on veut dénombrer, les caractères injectif et surjectif étant considérés comme allant de soi.
Dans ces circonstances, un élève n'a aucune procédure pour faire la différence entre une "preuve" juste et une "preuve" fausse. Certains élèves vont naturellement produire des "preuves" justes, d'autres non, sans que l'enseignant ait vraiment de poids là-dessus; il pourra juste face à une "preuve" fausse la démonter en exhibant le défaut d'injectivité (fréquent) ou de surjectivité (plus rare).
A contrario, une preuve formelle, qui exhibe des bijections et les démontre va souvent être considérée comme lourde, comme une complication inutile qui embrouille.
La pratique du dénombrement est un équilibre subtil entre intuition et formalisme; on n'est pas égaux là-dessus. Tu parlais de géométrie et d'arithmétique, il y a là aussi une part d'intuition, mais au moins le cadre hypothético-déductif est suffisamment solide pour faire la différence entre une preuve correcte et une preuve fausse, même pour quelqu'un qui n'a pas su produire la preuve.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
J'allais poser la même question que JLT. « De mon temps » j'ai enseigné les rudiments des dénombrements (listes, arrangements, permutations, combinaisons) en Terminale C, en Math-Sup, en prépa-HEC, sans trop de problèmes. En regrettant que la Combinatoire ne soit traitée que comme servante des probabilités, et non comme une discipline à part entière, avec la possibilité de développements spécifiques.

Sur ce forum, nous avons parlé abondamment de ces questions de notations. Qui pourra exhumer les fils de discussion naguère consacrés à cette question ?

La notation anglo-saxonne $\binom{n}{p}$ est à l'évidence « as bad as possible » (*) puisqu'elle présente une confusion avec un vecteur de $\mathbb R^2$. Mais nous avons capitulé encore une fois devant la force brute du suzerain occidental. Les anciennes notations $C_n^p$ et $A_n^p$ sont bien meilleures et c'est une très bonne idée de PetitLutinMalicieux de leur adjoindre $L_n^p$, à quoi on pourrait ajouter le quatrième de ses cas, pas d'ordre et répétition, qui donne les combinaisons avec répétitions, jadis notées $\Gamma_n^p$ ou $K_n^p$.

J'ai raconté que j'avais eu l'idée d'organiser mon cours de prépa-HEC en définissant $C_n^p$ comme coefficient binomial, la formule $\displaystyle (1+x)^{n}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}C_{n}^{k}x^{k}$ étant une définition de $C_n^p$. Les propriétés de $C_n^p$ en découlent, y compris l'expression de ce nombre comme
$C_{n}^{p}=\frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}$, qui est à mon avis la bonne pour ce nombre. Je définissais par ailleurs ensuite $\binom{n}{p}$ comme le nombre de $p$-parties d'un $n$-ensemble, et l'égalité $C_n^p= \binom{n}{p}$ était un théorème. J'ai déjà raconté tout ça, mais c'est enfoui dans les sables du million et quelques de messages du forum.

Cela dit, on ne peut bien sûr revenir sur la notation $\binom{n}{p}$. Ce n'est pas la seule notation anglo-saxonne que nous avons été contraints d'adopter. Il y a aussi $\ln$, $\tan$, $\sinh$ et autres hyperboliques. C'est comme ça.

Bonne journée.
Fr. Ch.

(*) Aussi mauvaise que possible.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Je pense que si on était globalement capable d'enseigner le dénombrement, il n'y aurait pas tant de profs qui se trompent dans les exercices qu'ils donnent à leurs élèves.

D'ailleurs, Chaurien, pour illustrer les dangers des raisonnements imprécis, je me souviens qu'il y avait une erreur dans le corrigé du problème de concours général sur les coloriages du tétraèdre écrit par tes compères Ferréol et Casiro.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
@aléa : Oui, mais quand on l'enseignait en TC, les élèves avaient l'habitude des ensembles, des bijections ... depuis la 6ème.
Ce n'est plus le cas aujourd'hui et le programme de Term ne fait pas mention de ces notions qu'on n'a de toutes façons pas le temps de présenter donc on cuisine.
Je viens de terminer ce chapitre, les élèves qui s'en sortent sont ceux qui voient naturellement les partitions mais, faute de pratique ensembliste, la mise en forme s'apparente plus à de la poésie qu'à des maths.

Exemple tout bête dans ma feuille de TD : Soit $n\geq 2$ un entier et $L$ un alphabet à $n$ lettres.
Combien de mots de $4$ lettres avec $2$ lettres doublées peut-on former ?
Rédaction ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par gai requin.
JLT
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Au moins, sur le dénombrement, on peut poser des questions du type "combien y a-t-il de..." et même si la démonstration est imparfaite, au moins le professeur voit de manière indiscutable si le résultat obtenu est juste.

@gai requin : ton énoncé n'est pas très clair, mais en admettant que le mot aaab convient, je rédigerais ainsi :

On peut former en tout $n\times n\times n\times n = n^4$ mots avec lettres doublées ou non. Cherchons le nombre de mots sans lettres doublées. Si $x_1x_2x_3x_4$ est un tel mot, alors on a $n$ choix pour $x_1$, $n-1$ choix pour $x_2$ (puisque $x_2$ est une lettre quelconque autre que $x_1$), $n-1$ choix pour $x_3$ et $n-1$ choix pour $x_4$, donc $n(n-1)^3$ mots.

Par conséquent le nombre de mots avec lettres doublées est $n^4-n(n-1)^3$.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
@JLT : Je précise.
"Deux lettres doublées" signifie que le mot contient deux fois une lettre $l$ et deux fois une autre lettre $m$.
JLT
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Donc voici ma rédaction. Etant donné un tel mot $x_1x_2x_3x_4$, on a $n$ choix pour $x_1$. La lettre $x_1$ étant doublée, on a $3$ choix pour l'emplacement où cette lettre est répétée. On choisit ensuite une lettre parmi $n-1$ pour la mettre sur les deux emplacements restants. En tout il y a $n\times 3\times (n-1)=3n(n-1)$ mots avec deux lettres doublées.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
En voilà une autre.
Soit $A$ l'ensemble des tels mots.
Pour $\{l,m\}\subset L$, on note $A_{\{l,m\}}$ le sous-ensemble de $A$ des mots contenant les lettres $l,m$.
On a $\mathrm{card} A_{\{l,m\}}=\binom{4}{2}=6$.
De plus, les $A_{\{l,m\}}$ sont deux à deux disjoints et $A=\bigcup\limits_{\{l,m\}\subset L}A_{\{l,m\}}$.
D'après le principe additif, $\mathrm{card} A=6\times\mathrm{card}\{\{l,m\}\subset L\}=6\times\binom{n}{2}=3n(n-1)$.

Que pense aléa des deux dénombrements proposés ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par gai requin.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Avec le dénombrement, on peut s'amuser indéfiniment. grinning smiley
Soit maintenant $p$ un entier tel que $4\leq p\leq n+2$.
Combien de mots de $p$ lettres contenant exactement deux lettres doublées non triplées peut-on former ?
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
La première rédaction, celle de JLT, c'est ce que je présente à ma fille, élève de Terminale.
C'est une ébauche de preuve, mais ce n'est pas une preuve, quoique les assertions avancées soient justes.
Ca peut servir d'introduction à la preuve de gai requin, quoique j'aurais été plus précis encore que lui car je n'aurais pas écris directement la multiplication mais plutôt constaté que j'avais une somme de nombres égaux.

"@aléa : Oui, mais quand on l'enseignait en TC, les élèves avaient l'habitude des ensembles, des bijections ... depuis la 6ème."
Je pense que c'est un peu idéalisé.
Les ensembles et bijections étaient beaucoup travaillés en 6e, 5e, moins après.
Les très bons élèves (moi) s'en souvenaient, les autres non, et le travail sur le dénombrement ne s'appuyait pas vraiment dessus, mais plutôt sur la reconnaissance de situations connues, et de recettes de cuisine plus ou moins caricaturales (par exemple: si l'ordre est important, on met Anp, sinon Cnp)
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Un classique peut-être ?
Soit $1\leq p\leq n$ des entiers.
Ecrire $\sum\limits_{k=p}^n\binom{k-1}{p-1}$ à l'aide d'une seule combinaison, en utilisant si possible un raisonnement combinatoire.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Je n'ai pas vu ma rédaction, alors je donne la mienne.

On choisit 2 lettres parmi n, indépendamment de l'ordre (les mots avec "l" et "m" sont les mêmes que les mots avec "m" et "l") et sans répétition ("m" est une "autre lettre" que "l" selon l'énoncé). C'est donc une combinaison.
Pour chaque couple de lettres précédemment choisies, on tire 2 places dans le mot parmi 4, indépendamment de l'ordre ("l" en première et 3ème place donne le même mot que "l" en 3ème et 1ère place) et sans répétition (on ne sélectionne pas deux fois la même place dans le mot). C'est donc une combinaison.
La quantité de possibilités est donc $C_n^2C_4^2=\frac{n(n-1)}{2}\frac{4\times 3}{2}=3n(n-1)$.

À noter : Si on avait les lettres par paire, sans dire que $m\neq l$, on aurait eu un tirage sans ordre mais avec répétition. Comme quoi, ce tirage arrive aussi. Merci Chaurien pour la notation $\Gamma_n^p=K_n^p$ que je ne connaissais pas. (ou que j'avais oubliée).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
JLT
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Je ne pense pas qu'il soit nécessaire de faire des démonstrations très formelles, la manière dont je rédige correspond à la manière dont je raisonne dans ma tête, et je trouve que c'est plus parlant ainsi même si je saurais rendre mon texte plus rigoureux.

Pour le deuxième exercice de gai requin : je choisis déjà une paire de lettres distinctes, ce sont celles qui sont doublées. J'ai $n(n-1)/2$ choix. Je choisis deux emplacements pour la lettre qui vient en premier dans l'alphabet : $p(p-1)/2$ choix. Je choisis deux emplacements pour l'autre lettre : $(p-2)(p-3)/2$ choix. Sur les $p-4$ emplacements restants je dois mettre $p-4$ lettres distinctes, toutes différentes des deux premières. Cela donne $(n-2)(n-3)\cdots(n-p+3)$ choix. En multipliant tous ces nombres, j'obtiens $[n(n-1)\cdots (n-p+3)]\times p(p-1)(p-2)(p-3)/8$ choix.

Pour le troisième exercice, j'obtiens $\binom{n}{p}$. En effet, choisir $x_1<\cdots<x_p$ dans l'intervalle $\{1,\ldots,n\}$ revient à choisir $k=x_p$, puis $p-1$ nombres dans $\{1,2,\ldots,k-1\}$.

Une autre démonstration consiste à utiliser la formule de Pascal et on obtient une somme télescopique.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Citation
Chaurien
Cela dit, on ne peut bien sûr revenir sur la notation $\binom{n}{p}$. Ce n'est pas la seule notation anglo-saxonne que nous avons été contraints d'adopter. Il y a aussi $\ln$, $\tan$, $\sinh$ et autres hyperboliques. C'est comme ça.

ln, tan, sinh, ça passe encore (surtout que tg, pour les élèves, est l’abréviation de… grinning smiley)
Mais pour celle des coefficients binomiaux, ben on peut faire de la résistance et continuer à utiliser l’ancienne.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
On retrouve le classique de Gai Requin sous une forme à peine modifiée dans Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof de Benjamin et Quinn qui est un classique pour les démonstrations combinatoires.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
@JLT : Pour le deuxième exercice, soit $c$ une combinaison de $p-2$ lettres parmi $n$, $\{l,m\}\subset c$ et $A_{(c,\{l,m\})}$ l'ensemble des mots contenant deux fois la lettre $l$, deux fois la lettre $m$ et une fois les autres lettres de $c$.
On a $\mathrm{card}A_{(c,\{l,m\})}=\dfrac{p!}{2!\times 2!}$ (cf anagrammes).
De plus, il y a $\binom{n}{p-2}\times\binom{p-2}{2}$ tels couples $(c,\{l,m\})$.
Donc il y a $\binom{n}{p-2}\times\binom{p-2}{2}\times\dfrac{p!}{2!\times 2!}$ mots cherchés.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Citation
JLT
Je ne pense pas qu'il soit nécessaire de faire des démonstrations très formelles
Pour la communication entre personnes qui voient ce qui se passe, la rédaction informelle est effectivement suffisante, même si des erreurs sont possibles, comme dans le corrigé d'exercice de concours général dont je parlais.

Pour les autres, lire des solutions informelles ne les fait pas progresser, j'en suis convaincu, c'est pourquoi je pense qu'un enseignement de dénombrement à un large public qui n'a pas accès au formalisme doit avoir des prétentions modestes.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Dans l'idéal, il faudrait faire ce que fait Rouvière dans son PGCD, un raisonnement heuristique puis une preuve formelle.
Dans l'idéal, on aurait le temps...
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
$\newcommand{\card}{\mathrm{card}}\newcommand{\stab}{\mathrm{stab}}$-Pour permettre de formaliser proprement les raisonnements de combinatoire, il faudrait d'abord réintroduire le vocabulaire ensembliste.

-Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. Alors pour tout $x\in X$, $\card \{y\mid \exists g\in G, y = gx\} = \frac{\card(G)}{\card(\stab(x))}$ avec $\stab(x) := \{g\in G \mid g x = x\}$ (i.e. le "stabilisateur" de $x$; résultat à la base de l'équation aux classes).
Ce résultat est un résultat de dénombrement en fait.
Les raisonnements incluant $n!=\card (\mathfrak S_n)$ y font souvent implicitement référence (on ne parle pas d'autre chose quand on dit qu'on "peut diviser par $k!$ puisque l'ordre de ces $k$ objets ne compte pas").

Exemples.
1°) Soient $L$ un ensemble totalement ordonné, $a,b\in L$ tels que $a<b$, et $E_{a,b}:= \left \{f\in \{a,b\}^4 \mid \card \left (f^{-1} \left (\{a\} \right) \right )= 2 \right\}$. Alors $\mathfrak S_4$ agit transitivement sur $E_{a,b}$ via $\sigma, f \mapsto f \circ \sigma$ et l'application (i.e. le quadruplet) $(a,a,b,b)$ admet pour stabilisateur un ensemble à $4$ éléments identifié à $\mathfrak S_2 \times \mathfrak S_2$.
Par suite $\card (E_{a,b})= \frac{4!}{4} = 6$.
Si $L$ est fini de \cardinal $n$, il y a $\frac{n(n-1)} 2$ couples d'éléments de $L$ de la forme $(a,b)$ avec $a<b$ (identifiables des parties à $2$ éléments de $L$).
On en déduit $\card \left (\bigcup_{a,b\in L, a<b} E_{a,b}\right)=3n(n-1)$

2°) Soient $n,d$ deux entiers naturels.
On fait à nouveau agir $\mathfrak S_n$ sur $\{1,\ldots,d\}^{\{1,\ldots,n\}}$ par composition à droite i.e. $\sigma,f \mapsto f \circ \sigma$. Alors pour toutes fonctions $f,g$ de $\{1,\ldots,n\}$ dans $\{1,\ldots,d\}$, il existe $\sigma \in \mathfrak S_n$ tel que $f\circ \sigma = g$ si et seulement si pour tout $i\in \{1,\ldots,d\}$, $f^{-1} \left ( \{i\}\right ) = g^{-1} \left ( \{i\}\right )$.

Soient $m_1,\ldots,m_d$ des entiers naturels dont la somme vaut $n$. On pose $F_{m_1,\ldots,m_d}:= \left \{f \in \{1,\ldots,d\}^{\{1,\ldots,n\}}\big | \forall k \in \{1,\ldots,d\},f^{-1} \left ( \{k\}\right ) =m_k \right \}$.
Le stabilisateur d'un élément $f$ de $F_{m_1,\ldots,m_d}$ s'identifie au produit des ensembles de permutations de $f^{-1}\left ( \{i\}\right )$ lorsque $i$ parcourt $\{1,\ldots,d\}$ et donc est de cardinal égal à $\prod_{i=1}^d m_i!$.
Par suite $$ \binom{n}{m_1,\ldots,m_d} := \card \left (F_{m_1,\ldots,m_d} \right)= \frac{n!}{\prod_{i=1}^d m_i !} \tag{1}

$$On note ci-dessous $\Phi := \{1,\ldots,d\}^{\{1,\ldots,n\}}$
Soient $A$ un anneau commutatif et $a_1,\ldots,a_d\in A$. Alors par distributivité de la multiplication sur l'addition, $(\sum_{i=1}^d a_i)^n = \sum_{f \in \Phi} \prod_{j=1}^n a_{f(j)}$. Mais $\left (F_{m_1,\ldots,m_d}\right)_{m \in \N^d, m_1+\cdots+m_d = n}$ est une partition de $\Phi$ et d'autre part pour tout $m\in \N^d$ dont la somme vaut $n$, $f\mapsto \prod a_{f(j)}$ est constante sur $F_{m_1,\ldots,m_d}$ et de valeur $\prod_{i=1}^d a_i^{m_i}$ d'où, avec les notations de $(1)$, la fameuse formule dite "du multinôme" : $$(a_1+\cdots+a_d)^n = \sum_{m_1+\cdots+m_d = n} \binom {n}{m_1,...,m_d} \prod_{i=1}^d a_i ^{m_i} \tag{2}
$$ Une autre conséquence de ce que les $m\mapsto F_{m_1...m_d} $ forment une partition de $\Phi$ est bien sûr l'égalité $$d^n = \sum_{m_1+\cdots+m_d = n} \binom n {m_1,...,m_d} \tag 3
$$Ces résultats sont amplement vulgarisés dans le cas particulier où $d=2$ cependant le cas où $d$ est quelconque ne pose pas de difficultés supplémentaires à mon avis avec le bon point de vue en tout cas (seules les notations s'alourdissent).



Edité 9 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par Foys.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
De nos jours, beaucoup d'élèves ayant fait des maths jusqu'au bac ne savent absolument pas qu'il y a un lien entre les coefficients binomiaux (ceux qui apparaissent dans la formule du binôme de Newton, ou dans la formule définissant la loi binomiale) et le dénombrement.
Ils découvrent souvent ce lien en 1ère année après le bac...

Quant à la notation, j'aime bien la notation $\binom{n}{p}$, parce qu'elle s'adapte à plein d'autres domaines que le dénombrement,e n particulier dans le cadre des séries entières : \[\forall x\in ]-1,1[, (1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{k} x^k\] ou encore pour définir les polynômes $P_k = \binom{X}{k}$ pour $k\in\N$.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
avatar
Sauf que on s’amuse avec les courbes de Bézier et les polynômes de Bernstein en dimension 2, c’est le gros bazar.
Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas utiliser $\C_X^k$.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Une petite pour les fans de poker.
On dispose de $4n$ cartes ($n\geq 2$), une carte $C$ étant la donnée d'un couple $(h,c)$, où $h\in[[1,n]]$ s'appelle la hauteur de $C$ et $c\in\{\spadesuit,\heartsuit,\diamondsuit,\clubsuit\}$ s'appelle la couleur de $C$.
Soit $p$ un entier tel que $4\leq p\leq n+2$.
On appelle main toute combinaison de $p$ cartes parmi ces $4n$.
Une double paire $h,k$ ($h\neq k$) est une main avec exactement deux cartes de hauteur $h$ et deux cartes de hauteur $k$, les autres cartes ayant des hauteurs deux à deux différentes.
Combien y a-t-il de doubles paires ?
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Bonjour,

$\binom {n}{2}\binom {4}{2}^2\binom {n-2}{p-4}\binom {4}{1}^{p-4} $ ?
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a six mois
Mon compte donne $\binom{n}{p-2}\binom{p-2}{2}\binom{4}{2}^24^{p-4}$.
On ne l'a pas fait de la même manière mais on trouve la même chose. winking smiley
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
Encore une petite !
Soit $1\leq q\leq p\leq n$ des entiers et $L$ un alphabet à $n$ lettres.
Combien y a-t-il de mots de $p$ lettres qui utilisent exactement $q$ lettres distinctes ?
J'ai fait étudier le cas $p=6$ à mes élèves en devoir maison. grinning smiley
JLT
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
avatar
Déjà si $n=q$ c'est le nombre de surjections de $p$ sur $q$... Pas facile de calculer de manière élémentaire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par JLT.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
Bizarre, ton dénombrement ne dépend pas de $n$.
Ok, tu viens d'éditer...
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
On s'en sort en utilisant les partitions de l'entier $p$ en une $q$-liste croissante de $\mathbb N^*$.
A une telle partition $P$, on peut associer de manière unique des entiers $1\leq m_1<m_2<\ldots <m_r$ et des entiers naturels non nuls $n_1,\ldots,n_r$ tels que $n_1+\cdots+n_r=q$ et $n_1m_1+\cdots+n_rm_r=p$.
Par exemple, avec $p=6$, $q=3$ et la partition $6=1+1+4$, on a $r=2$, $n_1=2,m_1=1,n_2=1,m_2=4$.

Avec ces notations, le nombre de mots de $p$ lettres qui utilisent $q$ lettres distinctes est :$$p!A^n_q\sum_P\frac 1{\prod n_i!\prod (m_i!)^{n_i}}.$$Par exemple, le nombre de mots de $6$ lettres utilisant $3$ lettres distinctes est $6!A^n_3\left(\dfrac 1{2!4!}+\dfrac 1{2!3!}+\dfrac 1{3!(2!)^3}\right)=90n(n-1)(n-2)$.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
avatar
Salut.
Je pense qu'une autre méthode donnerait la formule : $\binom{n}{q}S(p, q)$, où $S(p, q)$ est le nombre de surjections de $p$ sur $q$.

On sait que : $S(p, q) = \sum_{k=0}^{q}(- 1)^{q-k}\binom{q}{k}k^{p}$.

Cordialement
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
Parfait babsgueye thumbs down
Se donner un mot de $p$ lettres utilisant $q$ lettres distinctes, c'est se donner $q$ lettres et une surjection de $[[1,p]]$ dans l'ensemble de ces $q$ lettres.
Je vais regarder si on peut tirer quelque chose de nos deux façons de compter...
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
avatar
Citation
nicolas.patrois
ln, tan, sinh, ça passe encore (surtout que tg, pour les élèves, est l’abréviation de… grinning smiley)

J'avais nommé un segment [TG], un jour. Un élève me demande si j'ai fait exprès de choisir ce nom. Je dis un truc comme "Quoi donc ? Ah oui, TG ta gueule, non c'était pas volontaire".
Lui, étonné : "bah non, monsieur, Tarn-et-Garonne !". On était dans le 82, il était sérieux.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
avatar
Bien sur @gai requin ; pour des valeurs particulières de $q$, on peut trouver des formules bien plus pratiques que la somme pour le calcul de $S(p, q)$.

Par exemples :
- pour $q = p - 1$, les deux formules donnant $S(p, q) = p!.q!.G(q, p)$ où $G(q, p)$ est la forme générale de ce que tu mets entre-parenthèses dans ton exemple, on trouve $S(p, q) = p!.\dfrac{p - 1}{2}$.

- pour $q = p - 2$, on trouve $S(p, q) = \dfrac{p!.(p - 2).(3p - 5)}{24}$ (et cette formule n'est pas aisée à trouver autrement).

* pour $q = p - 3$ on trouve....

Cordialement. thumbs down
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
C'est rigolo babsgueye !
Pour tout entier $p\geq 3$,$$S(p,p-3)=\sum_{k=0}^{p-3}(-1)^{p-3-k}\binom{p-3}{k}k^p=\frac{p!(p-2)(p-3)^2}{48}.$$
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
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Bonjour,
C'est mignon comme anecdote michael. ^^
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
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C'est très cool @gai requin toutes ces formules donnant $S(p, q)$ pour des valeurs particulières de $q$, qu'on va arriver à déduire de ces deux comptages.

On retrouve aussi la fameuse égalité : $n! = \sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n$.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
Salut babsgueye, j'ai trouvé un autre truc très cool winking smiley

Pour tout $q\in\mathbb N$, $P_q:p\mapsto\dfrac{S(p+q,p)}{(p+q)!}$ est un polynôme de degré $q$ qui s'annule en $0$.
En particulier, $P_q$ est entièrement déterminé par les images de $1,2,\ldots,q$ (par interpolation par exemple).
Par exemple, pour $q=7$, on obtient pour tout $p\in\mathbb N$,$$S(p+7,p)=(p+7)!P_7(p)=\frac{(p+7)!p^2(p+1)(9p^4+54p^3+51p^2-58p+16)}{5806080}.$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par gai requin.
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
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Belle formule ! thumbs down
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
Après une recherche sur le net, j'ai vu que nos coefficients surjectifs vérifient des relations à la Pascal.
Pour tous $q$ et $p\geq 1$,$$S(p+q+1,p)=p\big(S(p+q,p)+S(p+q,p-1)\big).$$D'où, pour la suite de polynôme $(P_q)$ définie dans mon message précédent, $$(p+q+1)P_{q+1}(p)=p\big(P_q(p)+P_{q+1}(p-1)\big).$$Comme $P_0=1$, cette formule de récurrence permet de calculer les $P_q$ de proche en proche, ce que je me suis empressé de faire sous maple !

surjection := proc (q) 
uses PolynomialTools ;
local P, i, s, t ; 
P := 1 ; 
for i from 1 to q do 
s := CoefficientList(p*P, p) ;
P :=FromCoefficientList(convert(vector(i+1), list), p) ;
t := CoefficientList((p+i)*P-p*subs(p = p-1, P), p) ;
P := subs(solve(convert(t-s, set)), P) 
end do ; 
factor(P) 
end proc

Une petite vérification :

> S := (p,q)->sum((-1)^(q-k)*binomial(q, k)*k^p, k = 0 .. q) :
> P:=surjection(13) ;
(1/48206107901952000)*p^2*(p+1)*(945*p^10+23625*p^9+201600*p^8+609210*p^7-113715*p^6-2207175*p^5+1817786*p^4
+3161188*p^3-6544568*p^2+4388960*p-1061376)
> seq(S(p+13, p)-(p+13)!*P, p = 0 .. 100) ;
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
Re: Notation coefficients binomiaux
il y a cinq mois
La relation de récurrence pour le nombre de surjections est bien connue.

Il existe une formule simple : $P_q(p)$ est le coefficient de $x^q$ dans le développement en série entière de $\left(\dfrac{e^x-1}x\right)^p$. Cela prouve au passage que $P_q$ est un polyôme de degré $q$ en $p$ (car combinaison linéaire des $\displaystyle{p\choose k}$ pour $k$ de 1 à $q$). On peut faire le calcul à la main pour les petites valeurs de $q$.

Si on a le droit d'utiliser Maple, la commande
factor(coeff(convert(series(((exp(t)-1)/t)^p,t,q+1),polynom),t,q))
donne instantanément (pour $q=101$) la factorisation de $P_q(p)$.

Je me pose une question : pourquoi peut-on factoriser $p^2(p+1)$ dans $P_q(p)$ quand $q\geq3$ est impair ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
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